2.6 Lehetség és szükségszerűség: bevezetés a modális logikába – Möglichkeit und Notwendigkeit: ein Einstieg in die Modallogik

1. Este bezárul egy műhely ajtaja, és az utolsó látogató kulcsa nem illik bele.

2. Az ajtó most zárva van, de a megfelelő kulccsal kinyitható lenne.

3. Mindkettő egyszerre kimondható anélkül, hogy egymásnak ellentmondanánk.

4. Az első leírja, hogy a dolgok valójában hogyan állnak.

5. A második egy másik helyzetre irányítja a figyelmet, amelyben egy bizonyos feltétel teljesülne.

6. Aki összekeveri ezt a két állítást, könnyen egy jelenlegi akadályt változatlan határnak tekint.

7. Az a mondat is, hogy az ajtónak zárva kell maradnia, kiegészítés nélkül nem egyértelmű.

8. Azt jelenti, hogy egyetlen elképzelhető kulcs sem tudja kinyitni?

9. Vagy van egy házirend, amely szerint munkaidő után zárva kell maradnia?

10. Talán valaki csak azt jelenti, hogy a rendelkezésre álló eszközökkel nem lát lehetőséget a kinyitásra.

11. A „kell” szó ” szó ilyen különböző okok miatt még nem alkot egyetlen tényállást sem.

12. Ahhoz, hogy megértsünk egy modális kifejezést, meg kell kérdeznünk, hogy egyáltalán milyen alternatívák lehetségesek.

13. Modálisnak nevezzük azokat a kijelentéseket, amelyek valamit lehetségesnek, szükségesnek vagy lehetetlennek jelölnek meg.

14. Vizsgálatuk során a tényleges helyzetet összehasonlítják más helyzetekkel, amelyek az adott kérdés szempontjából szóba jöhetnek.

15. A legegyszerűbb logikai értelmezés fogalmában egy állítás akkor lehetséges, ha legalább egy megengedett helyzetben igaz.

16. Akkor szükségszerű, ha minden megengedett helyzetben igaz.

17. Ezek egy állítás és az alternatívák egy körének közötti kapcsolatok.

18. Hogy mely helyzetek tartoznak ide, azt a vizsgálat előtt meg kell határozni.

19. Ha minden ellentmondásmentesen leírható helyzetet figyelembe veszünk, akkor az ajtó nyitva lehet, és zárva is lehet.

20. Ekkor egyik állapotleírás sem szükségszerű pusztán a logika alapján.

21. Ha viszont azokra a helyzetekre korlátozódunk, amelyekben az érvényes házirendet betartják, és a műhely már zárva van, akkor ezen a területen belül szükségessé válhat, hogy az ajtó zárva maradjon.

22. Egy ilyen szükségszerűségből nem következik, hogy az ajtó más szabályok mellett vagy más időpontban soha nem lehetne nyitva.

23. A feltételes szükségszerűséget a kulcs példáján lehet pontosabban megfogalmazni.

24. Ha az ajtót csak egy megfelelő nyitható, és a látogató nem rendelkezik ilyen kulccsal, akkor az ajtónak ezek mellett a feltételek mellett zárva kell maradnia számára.

25. Ebből csak egy következtetés vonható le a megnevezett feltételek mellett.

26. Ebből sem az következik, hogy senki sem tudja kinyitni az ajtót, sem az, hogy minden elképzelhető helyzetben zárva marad.

27. A „Ha ezek a feltételek fennállnak, akkor az ajtónak a látogató számára zárva kell maradnia ” mondatban a következtetés ereje a „ha” szóban rejlik.

28. Ha elhagyjuk a feltételt, megváltoztatjuk az állítást.

29. Kicserélhetik a zárat, kinyithatják az ajtót belülről, vagy megtalálhatják a megfelelő kulcsot.

30. Az ilyen lehetőségek nem cáfolják a feltételes állítást, amíg azok nem lépnek ki annak feltételei közül.

31. A „lehetséges világ” kifejezés segíthet ebben a vizsgálatban.

32. A modellben ez egy teljesen meghatározott helyzetet jelöl, amelyben a vizsgált állítások esetében egyértelmű, hogy igazak-e vagy hamisak.

33. A műhely esetében egy ilyen helyzet meghatározhatná, hogy milyen kulcsok léteznek, kinek van hozzáférése, és hogy nyitva van-e az ajtó.

34. Egy lehetséges világ tehát elsősorban egy elméleti összehasonlítási pont, nem pedig egy másik univerzumról szóló beszámoló.

35. Több ilyen helyzetet is össze lehet hasonlítani anélkül, hogy azok teljes történetét ki kellene dolgozni.

36. Döntő fontosságú, hogy milyen szabály szerint választják ki őket.

37. Egy állítás minden megengedett helyzetben igaz lehet, és egy másik összehasonlítási területen elveszítheti szükségességét.

38. A modell bemutatja az az ítéletnek e területtől, de maga nem határozza meg a megfelelő területet.

39. Már az egyszerű tagadás is ugyanolyan gondosságot igényel.

40. Ha az ajtó kinyitása a meghatározott feltételek mellett lehetetlen, akkor az minden megengedett helyzetben elmarad.

41. A kinyitás lehetetlensége ekkor egyenértékű azzal, hogy az ajtó zárva marad.

42. Ez a kapcsolat csak , ha a „kinyitás” és a „zárva maradás” valóban ellentétek ugyanazon időpontban és ugyanazon ajtó esetében.

43. Egy résnyire nyitott ajtó vagy az időpont változása megzavarhatja a meggondolatlan megfogalmazást.

44. Hasonlóképpen a „Nem szükséges, hogy az ajtó zárva legyen” kifejezés azt jelenti, hogy legalább egy megengedett helyzetben az ajtó nyitva marad.

45. Ez nem jelenti azt, hogy az ajtó ténylegesen nyitva áll.

46. A „nem” a „szükséges” előtt visszavonja a kötelezettséget, anélkül, hogy máris tényként állítaná az ellenkezőjét.

47. Mely helyzetek megengedettek, az a kérdés jellegétől is függ.

48. A „logikailag lehetséges” kifejezés elsősorban azt jelenti, hogy a leírás nem tartalmaz ellentmondást.

49. A „gyakorlatilag lehetséges” azt jelenti, hogy valamit a rendelkezésre álló eszközökkel és a vonatkozó körülmények között meg lehet tenni.

50. A „szabály szerint lehetséges” azt jelenti, hogy egy cselekvés megengedett.

51. Tehát egy technikailag lehetséges ajtónyitás tilos lehet, míg egy megengedett ajtónyitás a kulcs hiánya miatt meghiúsulhat .

52. Ezenkívül az „Az ajtó nyitva lehet” kifejezés csupán azt is jelentheti, hogy valaki nem ismeri az ajtó állapotát.

53. Ez a lehetőség a hiányzó tudáson alapul, még akkor is, ha az ajtó már régóta szorosan zárva van.

54. Ugyanez a mondat tehát kifejezheti a beszélő személy bizonytalanságát, vagy egy bizonyos feltételek mellett fennálló valós cselekvési lehetőséget.

55. Ebből a kettősségből egy megtévesztő téves következtetés származik.

56. Tegyük fel, hogy egy látogató nem tudja, nyitva van-e az ajtó, és ezért azt mondja, hogy nyitva lehet.

57. Egy másik látogató a „lehet” szót úgy értelmezi, mint kijelentést arról, amit jelenleg a rendelkezésére álló eszközökkel elérhet.

58. Arra a következtetésre jut, hogy érdemes elmennie a műhelybe, mert bejuthat oda.

59. Azonban az állapotról való tudatlanságból nem következik az a képesség, hogy kinyissa az ajtót.

60. Hasonlóképpen, egy leírás puszta ellentmondásmentességéből sem lehet levezetni egy megvalósítható cselekvési utat.

61. A következtetés csak azért tűnik zökkenőmentesnek, mert a „lehetséges” szó észrevétlenül megváltoztatja a mércéjét.

62. Ha ezt a változást kimondjuk, kiderül a hiányzó feltétel: a gyakorlati bejutáshoz a látogatónak szüksége lenne egy megfelelő kulcsra vagy egy másik, ténylegesen elérhető nyílásra.

63. Itt komoly kifogás merül fel az egész eljárás ellen.

64. Ha mi magunk határozzuk meg, mely helyzetek számítanak, látszólag bármilyen kívánt szükségszerűséget előállíthatunk.

65. Aki csak a zárt ajtóval rendelkező helyzeteket engedélyezi, könnyedén jut arra a következtetésre, hogy az ajtó szükségszerűen zárva van.

66. Ebből a következtetés a kiválasztott területen belül még nem téves.

67. Sokkal inkább az a kérdéses, hogy miért éppen ez a terület adna választ a feltett kérdésre.

68. Ha a házirendről van szó, annak érvényességét és a betartásának kötelezettségét kell vizsgálni.

69. Ha a technikai megvalósíthatóságról van szó, a rendelkezésre álló eszközöket és a zár állapotát is be kell vonni a leírásba.

70. Ha pusztán tudásról van szó, akkor a rendelkezésre álló információkat és azok korlátait nyilvánosságra kell hozni.

71. A modális logika tisztázhatja az ilyen meghatározások közötti kapcsolatokat, de önmagában nem garantálja azok tárgyi megfelelőségét.

72. A zárt ajtónál ezért többet lehet felismerni, mint a „igen” és a „nem” közötti különbséget.

73. Jelenlegi állapota tény, lehetséges kinyitása egy megadott mozgásteret igényel, szükségszerű zártsága pedig e mozgástér egy meghatározott határát igényli.

74. Csak ezzel a határral lehet ellenőrizni, hogy egy feltételből valóban következik-e kötelezettség.

75. Még egy helyesen levont következtetés is rossz kérdésre adhat választ, ha a lehetségesség fogalma nem illeszkedik a tárgyhoz.

76. Fordítva: egy homályos „Ez nem megy” ellenőrizhető állítássá válik, amint világossá válik, milyen feltételek mellett és milyen értelemben nem lehetséges.

77. A megfelelő kulcs talán kinyitja az ajtót; az a kérdés azonban, hogy melyik kulcs számít egyáltalán, csak azután nyitja meg az érvelést.

1. Am Abend fällt die Tür eines Werkraums ins Schloss, und der Schlüssel der letzten Besucherin passt nicht.

2. Die Tür ist jetzt verschlossen, doch mit dem richtigen Schlüssel könnte sie geöffnet werden.

3. Beides lässt sich zugleich sagen, ohne sich zu widersprechen.

4. Das erste beschreibt, wie die Dinge tatsächlich stehen.

5. Das zweite richtet den Blick auf eine andere Lage, in der eine bestimmte Bedingung erfüllt wäre.

6. Wer diese beiden Aussagen verwechselt, hält aus einem gegenwärtigen Hindernis leicht eine unveränderliche Grenze.

7. Auch der Satz, die Tür müsse verschlossen bleiben, ist ohne Zusatz unklar.

8. Soll er heißen, dass kein denkbarer Schlüssel sie öffnen kann?

9. Oder gilt eine Hausregel, nach der sie nach Feierabend geschlossen bleiben muss?

10. Vielleicht meint jemand nur, dass er mit den vorhandenen Mitteln keine Öffnung sieht.

11. Das Wort „muss“ macht aus solchen verschiedenen Gründen noch keinen einzigen Sachverhalt.

12. Um einen modalen Ausdruck zu verstehen, müssen wir fragen, welche Alternativen überhaupt zugelassen werden.

13. Modal heißen Aussagen, die etwas als möglich, notwendig oder unmöglich kennzeichnen.

14. Ihre Prüfung vergleicht die tatsächliche Lage mit anderen Lagen, die für die jeweilige Frage in Betracht kommen.

15. In der einfachsten logischen Lesart ist eine Aussage möglich, wenn sie in wenigstens einer zugelassenen Lage wahr ist.

16. Notwendig ist sie, wenn sie in jeder zugelassenen Lage wahr ist.

17. Das sind Beziehungen zwischen einer Aussage und einem Bereich von Alternativen.

18. Welche Lagen dazugehören, muss vor der Prüfung feststehen.

19. Betrachten wir alle widerspruchsfrei beschreibbaren Lagen, kann die Tür offen und kann sie geschlossen sein.

20. Keine der beiden Zustandsbeschreibungen ist dann allein aufgrund der Logik notwendig.

21. Beschränken wir uns dagegen auf Lagen, in denen die geltende Hausregel befolgt wird und der Werkraum bereits geschlossen ist, kann das Geschlossenbleiben innerhalb dieses Bereichs erforderlich sein.

22. Aus einer solchen Notwendigkeit folgt nicht, dass die Tür unter anderen Regeln oder zu anderer Zeit niemals offen sein könnte.

23. Eine bedingte Notwendigkeit lässt sich am Schlüssel genauer fassen.

24. Wenn die Tür nur mit einem passenden Schlüssel geöffnet werden kann und der Besucherin kein solcher Schlüssel zur Verfügung steht, muss die Tür für sie unter diesen Bedingungen verschlossen bleiben.

25. Daraus folgt nur ein Ergebnis unter den genannten Voraussetzungen.

26. Es folgt weder, dass niemand die Tür öffnen kann, noch, dass sie in jeder denkbaren Lage verschlossen bleibt.

27. Im Satz „Wenn diese Voraussetzungen gelten, muss die Tür für die Besucherin verschlossen bleiben“ liegt die Stärke der Folgerung im Wenn.

28. Lässt man die Bedingung weg, verändert man die Behauptung.

29. Ein Schloss könnte ausgewechselt, die Tür von innen geöffnet oder ein passender Schlüssel gefunden werden.

30. Solche Möglichkeiten widerlegen die bedingte Aussage nicht, solange sie deren Voraussetzungen verlassen.

31. Der Ausdruck „mögliche Welt“ kann bei dieser Prüfung helfen.

32. Er bezeichnet im Modell eine vollständig bestimmte Lage, in der für die betrachteten Aussagen feststeht, ob sie wahr oder falsch sind.

33. Für den Werkraum könnte eine solche Lage festlegen, welche Schlüssel existieren, wer Zugang hat und ob die Tür geöffnet ist.

34. Eine mögliche Welt ist damit zunächst ein gedanklicher Vergleichspunkt, keine Meldung über ein weiteres Universum.

35. Mehrere solcher Lagen lassen sich vergleichen, ohne ihre ganze Geschichte auszumalen.

36. Entscheidend ist, nach welcher Regel sie ausgewählt werden.

37. Eine Aussage kann in allen zugelassenen Lagen wahr sein und in einem weiteren Vergleichsbereich ihre Notwendigkeit verlieren.

38. Das Modell zeigt die Abhängigkeit des Urteils von diesem Bereich, legt den passenden Bereich aber nicht von selbst fest.

39. Schon die einfache Verneinung verlangt dieselbe Sorgfalt.

40. Wenn die Öffnung der Tür unter den festgelegten Voraussetzungen unmöglich ist, bleibt sie in jeder zugelassenen Lage aus.

41. Die Unmöglichkeit ihrer Öffnung entspricht dann der Notwendigkeit ihres Geschlossenbleibens.

42. Diese Beziehung gilt nur, wenn „Öffnung“ und „Geschlossenbleiben“ wirklich Gegenteile für denselben Zeitpunkt und dieselbe Tür sind.

43. Eine angelehnte Tür oder ein Wechsel des Zeitpunkts kann eine vorschnelle Formulierung stören.

44. Ebenso bedeutet „Es ist nicht notwendig, dass die Tür geschlossen ist“, dass wenigstens eine zugelassene Lage mit offener Tür bleibt.

45. Es bedeutet nicht, dass die Tür tatsächlich offen steht.

46. Das „nicht“ vor „notwendig“ nimmt den Zwang zurück, ohne schon das Gegenteil als Tatsache zu behaupten.

47. Welche Lagen zugelassen werden, hängt auch von der Art der Frage ab.

48. Logisch möglich heißt zunächst, dass die Beschreibung keinen Widerspruch enthält.

49. Praktisch möglich heißt, dass etwas mit verfügbaren Mitteln und unter den maßgeblichen Umständen getan werden kann.

50. Nach einer Regel möglich heißt, dass eine Handlung erlaubt ist.

51. Eine technisch mögliche Öffnung kann also verboten sein, und eine erlaubte Öffnung kann am fehlenden Schlüssel scheitern.

52. Außerdem kann „Die Tür könnte offen sein“ bloß ausdrücken, dass jemand ihren Zustand nicht kennt.

53. Diese Möglichkeit beruht auf fehlendem Wissen, selbst wenn die Tür längst fest verschlossen ist.

54. Derselbe Satz kann somit eine Ungewissheit der sprechenden Person oder eine wirkliche Handlungsoption unter bestimmten Bedingungen ausdrücken.

55. Aus diesem Wechsel entsteht ein verführerischer Fehlschluss.

56. Angenommen, eine Besucherin weiß nicht, ob die Tür offen ist, und sagt deshalb, sie könne offen sein.

57. Ein zweiter Besucher versteht „kann“ als Aussage über das, was er jetzt mit seinen Mitteln bewirken kann.

58. Er schließt, ein Gang zum Werkraum lohne sich, weil er Zugang erhalten könne.

59. Doch aus Unkenntnis über den Zustand folgt keine Fähigkeit, die Tür zu öffnen.

60. Ebenso darf aus der bloßen Widerspruchsfreiheit einer Beschreibung kein erreichbarer Handlungsweg abgeleitet werden.

61. Der Schluss wirkt nur deshalb glatt, weil das Wort „möglich“ unbemerkt seinen Maßstab wechselt.

62. Wird dieser Wechsel ausgesprochen, zeigt sich die fehlende Voraussetzung: Für den praktischen Zugang bräuchte der Besucher einen geeigneten Schlüssel oder eine andere tatsächlich verfügbare Öffnung.

63. Hier liegt ein ernster Einwand gegen das ganze Verfahren.

64. Wenn wir selbst bestimmen, welche Lagen zählen, können wir scheinbar jede gewünschte Notwendigkeit herstellen.

65. Wer nur Lagen mit verschlossener Tür zulässt, erhält mühelos den Satz, dass die Tür notwendig verschlossen ist.

66. Daran ist der Schluss innerhalb des gewählten Bereichs noch nicht falsch.

67. Fraglich ist vielmehr, warum gerade dieser Bereich die gestellte Frage beantworten sollte.

68. Geht es um die Hausregel, müssen deren Geltung und die Pflicht zu ihrer Befolgung geprüft werden.

69. Geht es um technische Machbarkeit, gehören die vorhandenen Werkzeuge und der Zustand des Schlosses in die Beschreibung.

70. Geht es um bloßes Wissen, müssen die verfügbaren Informationen und ihre Grenzen offengelegt werden.

71. Die Modallogik kann Beziehungen zwischen solchen Festlegungen klären, aber ihre sachliche Angemessenheit nicht allein garantieren.

72. An der verschlossenen Tür lässt sich deshalb mehr erkennen als der Unterschied zwischen einem Ja und einem Nein.

73. Ihr jetziger Zustand ist eine Tatsache, ihre mögliche Öffnung verlangt einen angegebenen Spielraum, und ihr notwendiges Geschlossensein verlangt eine festgelegte Grenze dieses Spielraums.

74. Erst mit dieser Grenze lässt sich prüfen, ob aus einer Bedingung wirklich ein Muss folgt.

75. Auch ein korrekt gezogener Schluss kann die falsche Frage beantworten, wenn sein Möglichkeitsbegriff nicht zur Sache passt.

76. Umgekehrt wird aus einem vagen „Das geht nicht“ eine überprüfbare Behauptung, sobald klar ist, unter welchen Bedingungen und in welchem Sinn es nicht geht.

77. Der passende Schlüssel öffnet vielleicht die Tür; die Frage, welcher Schlüssel überhaupt zählt, öffnet erst das Argument.