2.3 Püthagorasz és a püthagoreusok: szám, rend és közösség – Pythagoras und die Pythagoreer: Zahl, Ordnung und Lebensgemeinschaft

1. Aki egy feszített húr rezgő hosszát felére osztja, azonos körülmények között hallhatja, hogy a hang egy oktávval emelkedik.

2. Egy mai bemutatóhoz ezt két azonos húr segítségével lehet szemléltetni, amelyek feszessége és tulajdonságai megegyeznek, miközben az egyik csak a fele hosszán rezeg.

3. A két hang egyértelműen különbözik egymástól, mégis van köztük egy rokonság, amely az együttes hangzáskor azonnal észrevehető.

4. Ezt az arányt a kettő és az egy számokkal lehet leírni, anélkül, hogy ezzel már meg is magyaráznánk, miért élik meg az emberek a hangokat egy bizonyos módon.

5. Elsősorban az a döntő, hogy egy hallható kapcsolat megfelel egy mérhető kapcsolatnak.

6. Ha mindkét húr hosszát megduplázzuk, arányuk és a hangok közötti távolság megmarad, bár a hangok összességében mélyebbé válnak.

7. Egy szám tehát itt többet fogalmaz meg, mint a létező dolgok mennyiségét: segít meghatározni a különböző jelenségek közötti rendet.

8. Ez a bemutató szemlélteti azt a gondolatot, amely a pitagoreus hagyomány számára fontos lett, anélkül, hogy a történelmi Pitagorasz kísérleti elrendezését rekonstruálná.

9. A Samosz szigetén született Pitagorasz a mi időszámításunk szerinti hatodik században tevékenykedett, és 530 körül Krotonban, egy dél-olaszországi görög városban telepedett le.

10. Ott egy közösség alakult ki körülötte, amelynek kötődése messze túlmutatott az egyes tételek elsajátításán.

11. Pitagoraszról magáról nem maradt fenn bizonyíthatóan saját írás, és a nézeteiről szóló beszámolók különböző korokból és összefüggésekből származnak.

12. Aki a pitagoreusok későbbi összes eredményét neki tulajdonítja, az egy sokrétű hagyományból egyetlen ember állítólagos tanítását alkotja meg.

13. Éppen a megismerés és az életvitel összekapcsolódását lehet jobban megérteni, ha a történelmi személy és hagyományának fejlődése megkülönböztethető marad.

14. A húr esetében először is a figyelem áthelyeződése válik láthatóvá, ami filozófiai előismeretek nélkül is érthető.

15. Felmerülhet a kérdés, hogy milyen anyagból áll, milyen erő feszíti meg, vagy milyen arányban áll a hossza egy másikhoz képest.

16. Ezen kérdések mindegyike más-más szempontot tár fel, és az anyag leírása még nem helyettesíti a zenei hangköz magyarázatát.

17. A hangköz két hangmagasság közötti távolságot jelöli, amely megfelelő esetekben egyszerű számarány segítségével meghatározható.

18. Az oktáv erre különösen szemléletes példa, mert az arány az abszolút nagyság változása esetén is megmaradhat.

19. Ugyanazon feltételek mellett kvinta hangzik, ha a rezgő húrhosszok aránya három az kettőhöz, kvart pedig négy a háromhoz.

20. Ezek az intervallumok is hangok közötti kapcsolatokat jelölnek, így matematikai leírásuk láthatóvá teszi a különböző nagyságok összeilleszkedését.

21. Ezáltal a szám olyan feladatot kap, amely túlmutat a gyakorlati számoláson, és visszatérő összefüggésekre irányul.

22. Különböző nagyságú dolgok is rendelkezhetnek ugyanazzal a szerkezettel, ha részeik megfelelő arányban állnak egymáshoz.

23. Egy ilyen felismerésből fakadhatott az a továbbmenő feltételezés, hogy a világ egésze is számokkal meghatározható kapcsolatok szerint rendeződik.

24. A görög „kosmos” szó egy rendezett világot jelöl, és ezzel máris kifejez egy olyan elvárást, amelyet egy magyarázatnak még be kell váltania.

25. Egy ilyen igény kielégítéséhez nem elegendő minden tárgyhoz valamilyen számot rendelni, hiszen egy tetszőleges hozzárendelés még nem teszi érthetővé az összefüggéseket.

26. A matematikai leírás akkor eredményes, ha lehetővé teszi annak felismerését, hogy milyen kapcsolatok állnak fenn, és milyen változások következnek be bizonyos feltételek mellett.

27. A számok szimbolikájának más funkciója van, ha egy szám például a tökéletességet hivatott kifejezni, vagy egy vallási összefüggést hivatott szemléltetni.

28. Ismét más az az ontológiai állítás, miszerint a számok maguk az alapvető valóság, amelyből minden más áll, hiszen az ontológia azt vizsgálja, hogy mi is valójában létezik.

29. Ez a három felhasználási mód egy hagyományon belül egymással érintkezhet anélkül, hogy ugyanolyan típusú indoklással rendelkezne.

30. Arisztotelész a mi időszámításunk előtti negyedik században arról számol be, hogy a pitagoreusok a számokban látták a dolgok alapelveit, és a zenei arányokat a világrendhez kapcsolták.

31. Leírása fontos tanúság, ugyanakkor magában hordozza egy filozófus kérdéseit is, aki a korábbi tanokat magyarázati elveik szerint rendszerezi.

32. Ezért nem enged közvetlen következtetést arra, hogy ezek közül a nézetek közül melyiket képviselte személyesen Püthagorasz.

33. A gondolat vonzereje mindazonáltal érthető: ahol egy hallható összhang egy egyszerű arány révén érthetővé válik, úgy tűnik, hogy a sokféleség mögött valami megbízható lép előtérbe.

34. Aki ezt a tapasztalatot általánosítja, remélheti, hogy más jelenségekben is felfedezhet egy rejtett szabályszerűséget.

35. Egyetlen példa sikere alátámasztja ezt a reményt, de még nem bizonyítja, hogy minden esemény ugyanúgy megfejthető lenne.

36. Egy gyümölcsöző feltételezés és egy kidolgozott világmagyarázat között az a feladat áll, hogy további tárgyakon keresztül megmutassuk, mire képesek valójában a számok.

37. Püthagorasz korai követői számára egyúttal felmerült egy olyan kérdés is, amelyre egy húr lemérésével nem lehet választ adni: milyen sors vár a lélekre a halál után.

38. Tanításának korai forrásokban is említett elemei közé tartozik a lélekvándorlás, vagyis a lélek átjutása más élőlényekbe.

39. Ezen elképzelés szerint a halál egy adott megtestesülést zár le, míg a léleknek van egy története, amely túlmutat ezen az egyetlen életen.

40. Ezzel megváltozik az emberi cselekvés gondolati kerete, mert a jelenlegi életet egy nagyobb összefüggésbe helyezik.

41. Egy ilyen nézőpont hitelesítheti az életfegyelmet anélkül, hogy ebből máris a közösség minden egyes szabályát le lehetne vezetni.

42. A továbbélő lélek feltételezése és egy zenei összefüggés magyarázata ráadásul különböző módon támaszkodik a tudásra.

43. A húr esetében egy összefüggés bemutatható és ellenőrizhető, míg a korábbi vagy jövőbeli megtestesülésekről szóló állítás másfajta meggyőződésre és tekintélyre támaszkodik.

44. Egy közösségben az ilyen különböző tudásigényeket egy közös életgyakorlat tarthatja össze.

45. Aki rendezett életmódot folytat, bizonyos cselekedeteket rendszeresen végrehajt és betartja a kötelező szabályokat, az akkor is kimutatja hovatartozását, ha nem tud minden tanítást saját maga alátámasztani.

46. A hagyományosan átadott pitagoreus életmódhoz vallási előírások és étkezési szabályok tartoznak, amelyek pontos alakját azonban nem lehet minden esetben megbízhatóan rekonstruálni.

47. Éppen a húsfogyasztás mellőzését illetően ellentmondanak egymásnak az ókori beszámolók, ezért nem tekinthető bizonyítottnak, hogy az összes korai pitagoreus egységesen szigorú vegetáriánus életmódot folytatott volna.

48. Még ha a lélekvándorlás is utal az állatokkal való bánásmódra, e fogalmi közelségből még nem következik az étkezési tilalmak teljes történelmi magyarázata.

49. A szabályok egyszerre rendelkezhetnek vallási jelentéssel, alakíthatják a szokásokat, és láthatóvá tehetik a tagok és a kívülállók közötti határt.

50. Hatásuk ezért nem merül ki sem a szabály tartalmában, sem egyetlen olyan indoklásban, amelyet az összes gyakorlat mögött feltételezhetnénk.

51. A röviden átadott utasításokat akusmatáknak nevezik, szó szerint: hallott dolgoknak.

52. Ebben a megnevezésben egy olyan átadási forma jelenik meg, amelynek során egy mondást felvesznek, megjegyeznek és kötelező érvényű iránymutatásként megőrzik.

53. Azonban nem lehet minden esetben egyértelműen megállapítani, hogy a fennmaradt utasítások közül melyek vezethetők vissza magára Püthagoraszra.

54. Egy ilyen hagyomány megértéséhez fontos, hogy a tanár iránti bizalom más alapon nyugszik, mint egy megértett bizonyítás elfogadása.

55. Mindkettő együtt hat a tanulás során, mert a tanítvány eleinte sok dolgot átvesz, amelyek okát csak később érti meg.

56. A tekintély akkor válik problémássá, amikor a tanárra való hivatkozás tartósan felváltja minden ellenőrzést.

57. Ezzel szemben túl egyszerű lenne a közös fegyelemből máris az önálló gondolkodás általános tilalmát levezetni, hiszen a szabályozott gyakorlat a figyelmet, a kitartást és a tudás átadását is lehetővé teheti.

58. A pitagoreus közösségek ráadásul a dél-olasz városok politikai világában álltak, ahol a tagságért és a befolyásért folyó küzdelem dúlt.

59. Az ötödik századból erőszakos támadásokról szóló beszámolók maradtak fenn a pitagoreus csoportok ellen, de a jelentéseket nem lehet egyetlen, mindenhol azonos lefolyású eseményként összegezni.

60. Politikai szerepük helyenként és időről időre változott, és nem alkottak a közösségtől elzárt, pusztán elmélkedésre szentelt szigetet.

61. Amint egy szorosan összekötött csoport nyilvános hatalmat gyakorol, belső összetartása kívülről kizárásként vagy különleges kompetenciára való igényként tűnhet fel.

62. Ez magyarázza a közösség és a város közötti lehetséges feszültséget, anélkül, hogy minden egyes konfliktust ugyanabból az okból vezetnénk le.

63. Ilyen körülmények között egy gondolati hagyomány fennmaradása is attól függ, hogy hordozói képesek-e tanítani, továbbvándorolni és máshol új kapcsolatokat kialakítani.

64. Philolaos esetében, aki az i. e. 5. században élt, a matematikai rend kérdése a fennmaradt töredékek alapján pontosabban nyomon követhető.

65. Ő a világot a határoló és a határtalan összefonódásaként írja le, amelyben mindkét oldal hozzájárul bizonyos dolgok létrejöttéhez.

66. Ezzel egy későbbi generáció kidolgozott felfogásával találkozunk, amelynek sajátos fogalmait nem lehet egyszerűen visszavezetni az alapítóra.

67. Fogalmai mai példákkal értelmezhetők, anélkül, hogy azok teljes világnézetét tükröznék.

68. Egy húr számos hangmagasságot tesz lehetővé, ha rezgő hosszát megváltoztatják, de ebből a mozgástérből csak bizonyos meghatározások révén alakul ki zenei rend.

69. A mérték határokat húz és lehetővé teszi a különbségek meghatározását; a puszta határolás azonban még nem garantálja az értelmesen összeállított egészet.

70. Az önkényesen kiválasztott hangok még nem alkotnak hangskálát, amelynek hangköz-sorrendje érthető lenne.

71. Ezért azt is meg kell magyarázni, hogy a meghatározott részek hogyan illeszkednek egymáshoz.

72. Itt nyeri el a harmónia további jelentését, mint olyan összeillesztés, amely a különböző elemeket rendezett viszonyba hozza.

73. A szó így többet jelent, mint egy kellemes hangzást, és egyben zenei példával különösen jól magyarázható.

74. Philolaos leírásában a korlátozó és a korlátlan közötti kapcsolat ilyen rendezett viszonyok révén válik érthetővé.

75. A szám eközben hozzáférést biztosít a dolgok meghatározottságához anélkül, hogy a világot megtestesült számok halmazaként kellene elképzelnünk.

76. Egy viszony alapvető lehet egy tárgy megértéséhez, noha nem annak anyaga.

77. Így a két húrhossz közötti arány valamit elárul zenei kapcsolatukról, de semmit arról, hogy a húrok ugyanabból az anyagból készültek-e.

78. A filozófiai haszon abban rejlik, hogy egy egész szerkezetét önálló magyarázati tárgyként kezeljük, és jelentőségét az anyagi tulajdonságok mellett is láthatóvá tegyük.

79. Arkitász, a tarentói, aki a Kr. e. 4. század első felében tevékenykedett, e matematikai összefüggések iránti érdeklődés egy további megnyilvánulását mutatja.

80. Zenei arányokat vizsgált, és egyúttal városa jelentős politikai vezetője is volt.

81. Nála a számítási éleslátás és a közfelelősség összekapcsolódása abban a gondolatban követhető nyomon, hogy a számítás segíthet az igények összehasonlíthatóvá tételében és a viták korlátozásában.

82. Ez a gondolat érthetővé válik, ha mai példaként egy közös elosztást veszünk szemügyre, amelyben a résztvevők ellenőrizhetik a mércét és az abból következő részesedéseket.

83. A számítás révén láthatóvá válik, hogy egy elosztás megfelel-e a választott mércének, míg a mérce jogossága továbbra is nyitott kérdés marad.

84. Mind a mindenki számára egyenlő mennyiség, mind a különböző hozzájárulások szerinti elosztás kiszámítható, de különböző elképzelésekhez vezetnek a méltányos elosztásról.

85. A matematikai pontosság tisztázhatja a vitát, amint megkülönböztetjük, hogy milyen összefüggéseket bizonyít, és milyen értékbeli döntéseket feltételez.

86. Ez a megkülönböztetés abban is segít, hogy felismerjük a zenei rendnek a teljes valóságra való átvitelének határait.

87. Az, hogy bizonyos hangok egyszerű arányban állnak egymáshoz, még nem jelenti azt, hogy minden életfolyamatnak vagy politikai rendnek ugyanazt a mintát kell követnie.

88. Egy matematikai összefüggés mindig azt magyarázza, amit az előfeltételei alapján megragad, és ezek az előfeltételek a magyarázat részét képezik.

89. A húrok esetében a feszességük vagy tulajdonságaik változása nem lenne mellékes kérdés, ha kizárólag a hosszarányból kellene következtetni a hangmagasságra.

90. Aki csak a számokat veszi figyelembe, és figyelmen kívül hagyja a többi feltételt, éppen egy helyes számítás segítségével is elégtelen magyarázatot adhat.

91. A pythagoreus rendkeresés szempontjából ez feszültséget jelent az egyetemes összefüggések iránti igény és az egyes összefüggések megbízható meghatározására irányuló munka között.

92. Ebből a feszültségből végül megérthető, miért tudta az alapító későbbi tisztelete egyszerre megőrizni és elrejteni hagyományának történetét.

93. A Pitagoraszról elnevezett geometriai tétel egy derékszögű háromszög oldalai közötti állandó kapcsolatot ír le, de a neve sem Pitagorasz személyes felfedezését, sem személyes bizonyítását nem bizonyítja.

94. Az egyes háromszögeknél megfigyelhető összefüggés és annak minden derékszögű háromszögre való érvényességének bizonyítása két különböző ismeretszerzési teljesítmény.

95. A bizonyításnak érthetővé kell tennie, miért érvényes az összefüggés a megadott feltételek mellett, ahelyett, hogy csupán további megfelelő példákat sorolna fel.

96. Ha a későbbi generációk eredményeit az alapítónak tulajdonítják, a közösség lenyűgöző eredettel gazdagodik, miközben a fejlődés tényleges lépései háttérbe szorulnak.

97. Egy hagyományosan átadott összefüggés így régebbinek és zártabbnak tűnhet, mint amit a rendelkezésre álló bizonyítékok alapján feltételezhetnénk.

98. Ez nem érinti a húrdemonstrációt, mert annak eredménye függetlenül ellenőrizhető attól a személytől, akinek a felfedezését tulajdonítják.

99. A gondolkodás történetéhez mindkét kérdés szükséges: milyen kapcsolat igazolható, és hogyan jutottak el az emberek oda, hogy jelentőséget tulajdonítsanak neki.

100. A közösségbe vetett bizalom és egy kapcsolat ellenőrizhetősége között rejlik e hagyomány különleges ereje, de egyúttal az a feladat is, hogy gondosan megkülönböztessük egymástól a különböző igényeket.

1. Wer an einer gespannten Saite die schwingende Länge halbiert, kann unter gleichbleibenden Bedingungen hören, wie der Ton um eine Oktave steigt.

2. Für eine heutige Demonstration lässt sich das an zwei gleichartigen Saiten nachvollziehen, deren Spannung und Beschaffenheit übereinstimmen, während eine von ihnen nur auf der halben Länge schwingt.

3. Die beiden Töne unterscheiden sich deutlich und besitzen dennoch eine Verwandtschaft, die sich beim gemeinsamen Erklingen unmittelbar bemerkbar macht.

4. Dieses Verhältnis lässt sich mit den Zahlen zwei und eins beschreiben, ohne dass damit schon erklärt wäre, weshalb Menschen die Töne in einer bestimmten Weise erleben.

5. Entscheidend ist zunächst, dass eine hörbare Beziehung einer messbaren Beziehung entspricht.

6. Verdoppelt man beide Saitenlängen, bleiben ihr Verhältnis und der Abstand der Töne erhalten, obwohl die Töne insgesamt tiefer werden.

7. Eine Zahl erfasst hier also mehr als die Menge vorhandener Dinge: Sie hilft, eine Ordnung zwischen verschiedenen Erscheinungen zu bestimmen.

8. Diese Demonstration veranschaulicht einen Gedanken, der für die pythagoreische Tradition wichtig wurde, ohne eine Versuchsanordnung des historischen Pythagoras nachzustellen.

9. Der auf Samos geborene Pythagoras wirkte im sechsten Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung und ließ sich um 530 in Kroton nieder, einer griechischen Stadt in Süditalien.

10. Dort bildete sich um ihn eine Gemeinschaft, deren Bindung weit über das Lernen einzelner Lehrsätze hinausging.

11. Für Pythagoras selbst ist keine eigene Schrift gesichert, und die Berichte über seine Auffassungen stammen aus unterschiedlichen Zeiten und Zusammenhängen.

12. Wer ihm sämtliche späteren Leistungen der Pythagoreer zuschreibt, macht deshalb aus einer vielgestaltigen Überlieferung die vermeintliche Lehre eines einzigen Mannes.

13. Gerade die Verbindung von Erkenntnis und Lebensführung lässt sich besser verstehen, wenn die historische Person und die Entwicklung ihrer Tradition unterscheidbar bleiben.

14. An der Saite wird zunächst eine Verschiebung der Aufmerksamkeit sichtbar, die auch ohne philosophische Vorkenntnisse nachvollziehbar ist.

15. Man kann nach dem Stoff fragen, aus dem sie besteht, nach der Kraft, die sie spannt, oder nach dem Verhältnis, in dem ihre Länge zu einer anderen steht.

16. Jede dieser Fragen erschließt etwas anderes, und eine Erklärung des Materials ersetzt noch keine Erklärung des musikalischen Intervalls.

17. Ein Intervall bezeichnet den Abstand zwischen zwei Tonhöhen, der sich in geeigneten Fällen durch ein einfaches Zahlenverhältnis bestimmen lässt.

18. Die Oktave ist dafür besonders anschaulich, weil das Verhältnis bei einer Veränderung der absoluten Größe erhalten bleiben kann.

19. Unter denselben Bedingungen erklingt eine Quinte, wenn die schwingenden Saitenlängen im Verhältnis drei zu zwei stehen, und eine Quarte beim Verhältnis vier zu drei.

20. Auch diese Intervalle bezeichnen Beziehungen zwischen Tönen, sodass ihre mathematische Beschreibung das Zusammenpassen verschiedener Größen sichtbar macht.

21. Damit gewinnt die Zahl eine Aufgabe, die über das praktische Abzählen hinausreicht und auf wiederkehrende Beziehungen zielt.

22. Verschieden große Dinge können dieselbe Struktur besitzen, wenn ihre Teile in entsprechenden Verhältnissen zueinander stehen.

23. Aus einer solchen Einsicht konnte die weitergehende Vermutung erwachsen, dass auch die Welt im Ganzen durch zahlenmäßig bestimmbare Beziehungen geordnet sei.

24. Das griechische Wort Kosmos bezeichnet eine geordnete Welt und bringt damit bereits eine Erwartung zum Ausdruck, die eine Erklärung erst einlösen muss.

25. Für einen solchen Anspruch reicht es nicht, jedem Gegenstand irgendeine Zahl zuzuweisen, denn eine beliebige Zuordnung macht noch keinen Zusammenhang verständlich.

26. Mathematische Beschreibung ist dort ergiebig, wo sie erkennen lässt, welche Beziehungen bestehen und welche Veränderungen sich unter bestimmten Bedingungen ergeben.

27. Zahlensymbolik hat eine andere Funktion, wenn eine Zahl etwa Vollkommenheit ausdrücken oder einen religiösen Zusammenhang vergegenwärtigen soll.

28. Wieder anders lautet die ontologische Behauptung, Zahlen seien selbst die Grundwirklichkeit, aus der alles andere besteht, denn Ontologie fragt danach, was überhaupt wirklich ist.

29. Diese drei Verwendungen können sich innerhalb einer Tradition berühren, ohne dieselbe Art von Begründung zu besitzen.

30. Aristoteles berichtet im vierten Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung, die Pythagoreer hätten in den Zahlen die Prinzipien der Dinge gesehen und musikalische Verhältnisse auf die Weltordnung bezogen.

31. Seine Darstellung ist ein wichtiges Zeugnis, trägt aber zugleich die Fragen eines Philosophen in sich, der frühere Lehren nach ihren Erklärungsprinzipien ordnet.

32. Sie erlaubt deshalb keinen unmittelbaren Rückschluss darauf, welche dieser Auffassungen Pythagoras persönlich vertrat.

33. Die Anziehungskraft des Gedankens lässt sich dennoch nachvollziehen: Wo eine hörbare Übereinstimmung durch ein einfaches Verhältnis verständlich wird, scheint hinter der Mannigfaltigkeit etwas Verlässliches hervorzutreten.

34. Wer diese Erfahrung verallgemeinert, kann hoffen, auch an anderen Erscheinungen eine verborgene Bestimmtheit zu entdecken.

35. Der Erfolg eines einzelnen Beispiels begründet diese Hoffnung, beweist aber noch nicht, dass jedes Geschehen auf dieselbe Weise erschlossen werden kann.

36. Zwischen einer fruchtbaren Vermutung und einer ausgearbeiteten Welterklärung liegt die Aufgabe, an weiteren Gegenständen zu zeigen, was die Zahlen tatsächlich leisten.

37. Für die frühen Anhänger des Pythagoras stand zugleich eine Frage im Raum, die sich durch das Messen einer Saite nicht beantworten lässt: welches Schicksal die Seele nach dem Tod erwartet.

38. Zu den früh bezeugten Bestandteilen seiner Lehre gehört die Seelenwanderung, also der Übergang einer Seele in andere Lebewesen.

39. Der Tod beendet nach dieser Vorstellung eine bestimmte Verkörperung, während die Seele eine Geschichte besitzt, die über dieses einzelne Leben hinausreicht.

40. Damit verändert sich der gedankliche Rahmen menschlichen Handelns, weil das gegenwärtige Leben in einen größeren Zusammenhang gestellt wird.

41. Eine solche Sicht kann Lebensdisziplin plausibel machen, ohne dass daraus bereits jede einzelne Vorschrift der Gemeinschaft abgeleitet wäre.

42. Die Annahme einer fortbestehenden Seele und die Erklärung eines musikalischen Verhältnisses beanspruchen zudem Wissen auf unterschiedliche Weise.

43. Bei der Saite lässt sich eine Beziehung vorführen und nachprüfen, während eine Aussage über frühere oder künftige Verkörperungen auf andere Formen der Überzeugung und Autorität angewiesen ist.

44. In einer Gemeinschaft können solche verschiedenen Wissensansprüche durch eine gemeinsame Lebenspraxis zusammengehalten werden.

45. Wer seine Gewohnheiten ordnet, bestimmte Handlungen regelmäßig vollzieht und sich an verbindliche Regeln hält, zeigt seine Zugehörigkeit auch dann, wenn er nicht jede Lehre selbst begründen kann.

46. Zum überlieferten pythagoreischen Leben gehören religiöse Vorschriften und Speiseregeln, deren genaue Gestalt allerdings nicht durchgehend zuverlässig zu rekonstruieren ist.

47. Gerade beim Verzicht auf Fleisch widersprechen sich die antiken Berichte, weshalb ein einheitlicher strenger Vegetarismus aller frühen Pythagoreer nicht als gesichert gelten kann.

48. Auch wenn die Seelenwanderung einen Zusammenhang mit dem Umgang mit Tieren nahelegt, folgt aus dieser begrifflichen Nähe noch keine vollständige historische Erklärung der Speiseverbote.

49. Regeln können gleichzeitig religiöse Bedeutung besitzen, Gewohnheiten formen und die Grenze zwischen Mitgliedern und Außenstehenden sichtbar machen.

50. Ihre Wirkung erschöpft sich deshalb weder im Inhalt der Vorschrift noch in einer einzigen Begründung, die sich hinter sämtlichen Praktiken vermuten ließe.

51. Kurze überlieferte Weisungen werden als Akusmata bezeichnet, wörtlich als Dinge, die gehört wurden.

52. In dieser Bezeichnung tritt eine Form der Weitergabe hervor, bei der ein Ausspruch aufgenommen, erinnert und als verbindliche Orientierung bewahrt wird.

53. Welche der erhaltenen Weisungen auf Pythagoras selbst zurückgehen, lässt sich jedoch nicht durchweg feststellen.

54. Für das Verständnis einer solchen Überlieferung ist wichtig, dass das Vertrauen in einen Lehrer eine andere Grundlage hat als die Zustimmung zu einem nachvollzogenen Beweis.

55. Beides kann beim Lernen zusammenwirken, weil ein Schüler zunächst viele Dinge übernimmt, deren Gründe er erst später versteht.

56. Problematisch wird die Autorität dort, wo die Berufung auf den Lehrer jede Prüfung dauerhaft ersetzen soll.

57. Umgekehrt wäre es zu einfach, aus gemeinsamer Disziplin bereits ein allgemeines Verbot selbständigen Denkens abzuleiten, denn eine geregelte Praxis kann auch Aufmerksamkeit, Ausdauer und die Weitergabe von Kenntnissen ermöglichen.

58. Die pythagoreischen Gemeinschaften standen überdies innerhalb der politischen Welt der süditalienischen Städte, in denen Zugehörigkeit und Einfluss umkämpft waren.

59. Für das fünfte Jahrhundert sind gewaltsame Angriffe auf pythagoreische Gruppen überliefert, doch die Berichte lassen sich nicht zu einem einzigen überall gleich verlaufenden Ereignis zusammenschieben.

60. Ihre politische Rolle wechselte nach Ort und Zeit, und sie bildeten keine vom Gemeinwesen abgeschlossene Insel reiner Betrachtung.

61. Sobald eine eng verbundene Gruppe öffentliche Macht ausübt, kann ihre innere Verlässlichkeit nach außen als Ausschluss oder als Anspruch auf besondere Zuständigkeit erscheinen.

62. Das erklärt eine mögliche Spannung zwischen Gemeinschaft und Stadt, ohne jeden einzelnen Konflikt aus derselben Ursache herzuleiten.

63. Auch die Fortdauer einer Denktradition hängt unter solchen Bedingungen davon ab, ob ihre Träger lehren, weiterwandern und andernorts neue Verbindungen herstellen können.

64. Bei Philolaos, der im fünften Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung lebte, lässt sich die Frage nach mathematischer Ordnung an erhaltenen Fragmenten genauer verfolgen.

65. Er beschreibt die Welt als Zusammenfügung von Begrenzendem und Unbegrenztem, wobei beide Seiten zum Zustandekommen bestimmter Dinge beitragen.

66. Damit begegnet uns eine ausgearbeitete Auffassung aus einer späteren Generation, deren besondere Begriffe nicht ohne Weiteres auf den Gründer zurückgetragen werden dürfen.

67. Seine Begriffe lassen sich durch eine heutige Veranschaulichung erschließen, ohne dass diese seine gesamte Weltlehre abbildet.

68. Eine Saite ermöglicht viele Tonhöhen, wenn ihre schwingende Länge verändert wird, aber aus diesem Spielraum entsteht erst durch bestimmte Festlegungen eine musikalische Ordnung.

69. Ein Maß zieht Grenzen und macht Unterschiede bestimmbar; bloße Begrenzung allein garantiert allerdings noch kein sinnvoll gefügtes Ganzes.

70. Willkürlich gewählte Töne bilden noch keine Tonleiter mit einer nachvollziehbaren Ordnung ihrer Abstände.

71. Erklärungsbedürftig ist deshalb auch, auf welche Weise die bestimmten Teile zusammenpassen.

72. Hier gewinnt Harmonia ihren weiteren Sinn als Zusammenfügung, die Verschiedenes in ein geordnetes Verhältnis bringt.

73. Das Wort bezeichnet damit mehr als einen angenehmen Klang und lässt sich zugleich am musikalischen Beispiel besonders gut erläutern.

74. In Philolaos' Darstellung wird die Verbindung von Begrenzendem und Unbegrenztem durch solche geordneten Verhältnisse verständlich.

75. Die Zahl gibt dabei einen Zugang zur Bestimmtheit der Dinge, ohne dass man sich die Welt als einen Haufen verkörperter Ziffern vorstellen müsste.

76. Eine Beziehung kann für das Verständnis eines Gegenstands grundlegend sein, obwohl sie nicht dessen Material ist.

77. So sagt das Verhältnis zweier Saitenlängen etwas über ihre musikalische Beziehung aus, aber nichts darüber, ob die Saiten aus demselben Stoff gefertigt wurden.

78. Der philosophische Gewinn liegt darin, die Struktur eines Ganzen als eigenen Erklärungsgegenstand zu behandeln und ihre Bedeutung neben der stofflichen Beschaffenheit sichtbar zu machen.

79. Archytas von Tarent, der in der ersten Hälfte des vierten Jahrhunderts vor unserer Zeitrechnung wirkte, zeigt eine weitere Ausgestaltung dieses Interesses an mathematischen Beziehungen.

80. Er untersuchte musikalische Verhältnisse und war zugleich ein bedeutender politischer Führer seiner Stadt.

81. Bei ihm lässt sich die Verbindung von rechnerischer Einsicht und öffentlicher Verantwortung an der Vorstellung verfolgen, dass Berechnung helfen könne, Ansprüche vergleichbar zu machen und Streit zu begrenzen.

82. Dieser Gedanke ist verständlich, wenn man als heutige Illustration eine gemeinsame Verteilung betrachtet, bei der die Beteiligten den Maßstab und die daraus folgenden Anteile überprüfen können.

83. Durch die Rechnung wird sichtbar, ob eine Verteilung dem gewählten Maßstab entspricht, während die Berechtigung des Maßstabs eine zusätzliche Frage bleibt.

84. Eine gleiche Menge für alle und eine Zuteilung nach unterschiedlichen Beiträgen lassen sich beide berechnen, führen aber zu verschiedenen Vorstellungen angemessener Verteilung.

85. Mathematische Genauigkeit kann die Auseinandersetzung klären, sobald man unterscheidet, welche Beziehungen sie nachweist und welche Wertentscheidungen sie voraussetzt.

86. Diese Unterscheidung hilft auch, die Grenzen der Übertragung musikalischer Ordnung auf die gesamte Wirklichkeit zu erkennen.

87. Dass bestimmte Töne in einfachen Verhältnissen stehen, zeigt noch nicht, dass jeder Lebensvorgang oder jede politische Ordnung demselben Muster folgen muss.

88. Eine mathematische Beziehung erklärt jeweils dasjenige, was unter ihren Voraussetzungen erfasst wird, und diese Voraussetzungen gehören zur Erklärung dazu.

89. Bei den Saiten wären Änderungen ihrer Spannung oder Beschaffenheit keine Nebensachen, wenn aus dem Längenverhältnis allein auf die Tonhöhe geschlossen werden soll.

90. Wer nur die Zahlen betrachtet und die übrigen Bedingungen vergisst, kann gerade mit einer richtigen Rechnung eine unzureichende Erklärung geben.

91. Für die pythagoreische Suche nach Ordnung bedeutet das eine Spannung zwischen dem Anspruch auf universale Zusammenhänge und der Arbeit, einzelne Zusammenhänge zuverlässig zu bestimmen.

92. An dieser Spannung lässt sich schließlich verstehen, weshalb die spätere Verehrung des Gründers die Geschichte seiner Tradition zugleich bewahren und verdecken konnte.

93. Der nach Pythagoras benannte geometrische Satz beschreibt eine feste Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, doch sein Name beweist weder eine persönliche Entdeckung noch einen persönlichen Beweis durch Pythagoras.

94. Eine Beziehung an einzelnen Dreiecken zu beobachten und ihre Gültigkeit für jedes rechtwinklige Dreieck zu beweisen sind unterschiedliche Erkenntnisleistungen.

95. Ein Beweis muss verständlich machen, weshalb die Beziehung unter den angegebenen Voraussetzungen notwendig gilt, statt lediglich weitere passende Beispiele anzuführen.

96. Wenn Leistungen späterer Generationen dem Gründer zugeschrieben werden, gewinnt die Gemeinschaft einen eindrucksvollen Ursprung, während die tatsächlichen Schritte ihrer Entwicklung aus dem Blick geraten.

97. Ein überlieferter Zusammenhang kann so älter und geschlossener erscheinen, als die zugänglichen Zeugnisse erkennen lassen.

98. Die Saitendemonstration bleibt davon unberührt, weil sich ihr Ergebnis unabhängig von der Person prüfen lässt, der man seine Entdeckung zuschreibt.

99. Für die Geschichte des Denkens sind beide Fragen nötig: welche Beziehung sich begründen lässt und wie Menschen dazu kamen, ihr Bedeutung beizumessen.

100. Zwischen dem Vertrauen in eine Lebensgemeinschaft und der Nachprüfbarkeit eines Verhältnisses liegt die besondere Kraft dieser Tradition, aber auch die Aufgabe, ihre verschiedenen Ansprüche sorgfältig auseinanderzuhalten.