14.2 Gottlob Frege: Modern logika, jelentés és a matematika alapjai – Gottlob Frege: Moderne Logik, Bedeutung und die Grundlagen der Mathematik

1. Amikor Bertrand Russell 1902. június 16-án levelet írt Gottlob Frege-nek, éppen nyomdában volt egy mű második kötete, amelynek célja az volt, hogy megbízható alapot teremtsen az aritmetikának.

2. Russell csodálta Frege kutatásainak pontosságát, de felhívta a figyelmét egy ellentmondásra, amelyet a rendszerében ki lehetett vezetni.

3. Éppen az a munka, amely minden bizonytalan átmenetet ki akart szűrni a matematikai bizonyításokból, tartalmazott egy tarthatatlan előfeltevést.

4. Frege kiegészítette 1903-ban megjelent „Az aritmetika alap törvényei” című kötetét egy utószóval, amelyben megvizsgálta a nehézséget, és módosítást javasolt.

5. A javasolt javítás nem mentette meg a rendszert.

6. Ahhoz, hogy megértsük, mi bukott meg ezzel, és mi maradhatott fenn, vissza kell térnünk ahhoz a kérdéshez, amelyből új eszközei születtek.

7. Frege, aki 1848-tól 1925-ig élt és a jénai egyetemen tanított matematikát, már a 19. század végén megkezdte meghatározó munkáit.

8. Az foglalkoztatta, hogy mire alapul egy matematikai állítás bizonyossága, ha annak indoklását egészen az utolsó előfeltételekig követjük.

9. A számítás során támaszkodhatunk a begyakorolt eljárásokra, de azok sikeres alkalmazása még nem magyarázza meg, miért érvényesek általánosan.

10. Még a helyes eredmények nagy száma sem bizonyít olyan törvényt, amelyet tetszőleges számú további esetre vonatkoztatnak.

11. Aki az aritmetika alapjait kívánja vizsgálni, annak ezért különbséget kell tennie a meggyőződés megszerzése és annak igazolása között.

12. Egy gyermek megtanulhatja az összeadást kavicsok segítségével anélkül, hogy az összeadás igazsága ezektől a kavicsoktól vagy ettől a tanulási folyamattól függne.

13. Az, hogy az emberek matematikával foglalkoznak, még nem teszi a matematikai állításokat az emberi szokásokról szóló leírásokká.

14. Ez a megkülönböztetés vezette Frege-t a pszichologizmus elleni vitába, amely a logikai érvényességet az emberi gondolkodás tényeire akarta visszavezetni.

15. A pszichológiai kutatások vizsgálhatják, milyen feltételek mellett vonnak le az emberek következtetéseket, milyen elképzeléseik vannak eközben, és miért követnek el hibákat.

16. A logikai bizonyítás más követelményt támaszt, hiszen következtetése igaz előfeltevések mellett igaznak kell lennie, függetlenül attól, hogy a következtetés mennyire meggyőzőnek tűnik valakinek.

17. Még ha minden ember ugyanazt a téves következtetést tartaná helyesnek, az egyetértésük sem adna érvényességet neki.

18. Ugyanígy egy érvényes következtetés sem veszíti el érvényességét attól, hogy senki sem érti.

19. Frege antipszichologizmusa, azaz a logika pszichológiai alapozásának elutasítása, ezért nem veszi el a gondolkodás kutatásának tárgyát.

20. Tagadja, hogy az emberek tényleges gondolkodásának leírása máris megadná a helyes következtetés mércéjét.

21. Ehhez olyan ábrázolásra volt szüksége, amelyben az állítások közötti kapcsolatok pontosabban vizsgálhatók voltak, mint amennyire azt a köznyelv lehetővé tette.

22. Az 1879-ben megjelent „Begriffsschrift” című művében olyan formális nyelvet fejlesztett ki, amelynek jelei és következtetési szabályai kifejezetten láthatóvá teszik ezeket a kapcsolatokat.

23. Egy általa választott példa mutatja meg, miért szükséges ehhez több, mint a mondat alanyra és állítmányra való megszokott felosztása.

24. Az „Minden kutató ismer valamilyen módszert” állítás nyitva hagyja, hogy a kutatók ugyanazt a módszert ismerik-e, vagy mindegyikük más-más módszert.

25. Ez az állítás csupán azt követeli meg, hogy minden kutató számára legalább egy megfelelő módszer található legyen.

26. Ezzel szemben az „Van egy módszer, amelyet minden kutató ismer” állítás azt állítja, hogy legalább egy bizonyos módszer minden kutatónak közös ismerete.

27. Tegyük fel, hogy három kutató mindegyike csak a saját módszerét ismeri; ebben az esetben az első állítás igaz, a második pedig hamis lenne.

28. A „minden” és az „van” szavak tehát nem csupán mellékes kiegészítéseknek tűnnek, hanem meghatározzák, hogy az állított kapcsolatok milyen messzire terjednek.

29. A logikában ezeket a kifejezéseket kvantoroknak nevezik, mert meghatározzák, hogy egy terület összes eleméről vagy legalább egyről van-e szó.

30. Elrendezésük dönti el itt, hogy egy módszert az egyes kutatók igényei szerint lehet-e kiválasztani, vagy annak egyszerre mindenkinek alkalmasnak kell lennie.

31. Frege leírása szisztematikusan hozzáférhetővé tette ezeket a különbségeket és az azokból fakadó következtetési lehetőségeket.

32. A nyitott formában „… egy prímszám” még hiányzik annak a megadása, hogy miről szól az ítélet.

33. Ha az ötös számot helyettesítjük be, igaz állítást kapunk, míg a hatos szám behelyettesítése hamisat eredményez.

34. Frege a fogalmakat egy speciális fajta függvényként kezelte, amelyek egy behelyettesített tárgyhoz igazságértéket rendelnek.

35. A behelyettesített tárgy ekkor a függvény argumentuma, vagyis az, amelyre vonatkozóan az értéke meghatározásra kerül.

36. Egy ilyen fogalmi függvény addig marad kiegészítésre szoruló, amíg argumentumot nem helyezünk be, és erre a sajátosságra Frege a „teljesítetlen” kifejezést használta.

37. A megkülönböztetésnek azt kell megmagyaráznia, hogy egy tárgy és az arra alkalmazható fogalmi meghatározás hogyan alkotnak együtt egy teljes állítást.

38. Ezenkívül lehetővé teszi több elemű kapcsolatok vizsgálatát is, például egy kutató által egy módszer ismeretét.

39. Ezekkel az eszközökkel Frege pontosabban meg akarta határozni, hogy egyáltalán mit állítunk, amikor egy számot megadunk.

40. 1884-ben megjelent „Az aritmetika alapjai” című könyvében ellenezte azokat a nézeteket, amelyek a számokat magánképzeletként vagy a dolgok érzékszervekkel érzékelhető tulajdonságaként kezelték.

41. Egy szám nem változik attól, hogy különböző emberek a nevének hallatán különböző képeket képzelnek el.

42. Ugyanígy a gyűjtemény darabszáma sem tekinthető automatikusan a dolgok olyan tulajdonságának, mint a színük vagy a súlyuk.

43. Vegyünk példaként egy öt könyvből álló halmot: a kérdésfeltevés függvényében beszélhetünk egy halomról, öt könyvről vagy sok egyes oldalról.

44. A látható elrendezés önmagában ezért nem határozza meg, hogy mit kell számolni.

45. Döntő jelentőségű az a fogalom, amely alatt a tárgyakat megragadjuk, például „könyv ebben a könyvhalomban”.

46. Frege szerint egy számadat arról ad tájékoztatást, hogy hány tárgy tartozik egy ilyen fogalom alá.

47. A nullát is így lehet értelmezni, hiszen egy fogalomhoz a nulla szám tartozik, ha egyetlen tárgy sem tartozik alá.

48. A számadatból a számok mint önálló tárgyak felé való átmenet azonban egy további lépést igényel.

49. Két szám összehasonlításához nem feltétlenül kell először megszámolni az érintett dolgokat.

50. Ha egy hipotetikus térben minden jelen lévő ember mellé pontosan egy széket állítunk, és mindkét oldalon senki, illetve semmi nem marad, akkor ugyanannyi ember és szék van.

51. Egy ilyen kölcsönösen egyértelmű leképezés az egyik oldal minden tárgyát pontosan egy tárgyhoz rendeli a másik oldalon.

52. Ez általános kritériumot ad az egyenlő számosságra, még akkor is, ha az emberek és a székek teljesen különböző tulajdonságokkal rendelkeznek.

53. Számuk egyenlősége attól függ, hogy létezik-e megfelelő leképezés, és nem attól, hogy a dolgok hasonlóak-e egymáshoz.

54. Frege úgy akarta meghatározni a számokat, hogy egy fogalom alá tartozó tárgyak száma pontosan akkor egyezzen meg egy másik fogalom megfelelő számával, ha ilyen leképezés lehetséges.

55. A leképezési példa azonban még nem tartalmazza az egész aritmetika bizonyítását, és önmagában nem ad választ arra a kérdésre, hogy mely tárgyak a számok.

56. Fregé továbbmenő programja, a logizmus, arra irányult, hogy pontos definíciók segítségével logikai törvényekből vezesse le az aritmetikai alapelveket.

57. Ehhez a tervhez az egyenlőség nyelvét is tisztázni kellett, hiszen két kifejezés ugyanazt a tárgyat jelölheti, és mégis eltérő mennyiségű ismeretet közvetíthet.

58. Az a kijelentés, hogy a hajnalcsillag a hajnalcsillag, csupán azt erősíti meg, hogy az ugyanazon megnevezés alatt értelmezett tárgy azonos önmagával.

59. Az a kijelentés viszont, hogy a hajnalcsillag az esti csillag, csillagászati ismeretet fejezhet ki.

60. Mindkét megnevezés a Vénusz bolygóra utal, amelyet különböző megfigyelési körülmények között észlelünk az égen.

61. Aki megérti a megnevezéseket, annak még nem feltétlenül kell ismernie azok közötti hivatkozási egyenlőséget.

62. Az 1892-es „A jelentésről és a jelentésről” című esszéjében Frege megkülönböztette a megnevezett tárgyat attól a módtól, ahogyan azt egy kifejezés adja meg.

63. Ezt a megadottság módját jelentésnek nevezte, míg a jelentéssel a kifejezés hivatkozását jelölte.

64. A hajnalcsillag és az esti csillag ebben a szakszókincsben ugyanazt a jelentést hordozza, bár különböző értelmeik eltérő megismerési utat nyitnak meg.

65. A „jelentés” kifejezést itt különösen gondosan kell értelmezni, mert a köznyelvi németben gyakran magában foglalja azt is, amit Frege éppen az értelemben különböztet meg.

66. Egy kifejezés értelme azonban nem tetszőleges személyes hangulat, és nem is olyan kép, amely csupán egy-egy ember tudatában jelenik meg.

67. Az egyik olvasó a „reggeli csillag” kifejezés hallatán egy bizonyos égboltra gondolhat, egy másik pedig egy rajzra, de eltérő elképzeléseik nem akadályozzák meg őket abban, hogy ugyanazt az állítást értsék.

68. Frege magyarázatot keresett arra, hogy egy tartalom hogyan lehet több ember számára hozzáférhető, és hogyan vizsgálhatják meg közösen igazságtartalmát.

69. A jelentés és a jelentés közötti megkülönböztetést ezért kiterjesztette a teljes állító mondatokra is.

70. Egy ilyen mondat jelentését gondolatnak nevezte, amivel a megértett, igazolható tartalmat értette, és nem a gondolkodás időbeli folyamatát.

71. Egy állító mondat jelentéseként annak igazságértékét határozta meg, vagyis azt, hogy igaz-e vagy hamis.

72. Ez a hozzárendelés elsőre furcsának tűnik, mert két igaz mondat teljesen különböző dolgokról is szólhat.

73. Különböző tartalmuk azonban a gondolatok szintjén megmarad, míg a jelentés szűkebb értelemben csupán az igazságértéküket foglalja magában.

74. Az elméletnek tehát meg kell magyaráznia, hogyan tudunk objektív gondolatokat és jelentéseket megragadni, noha azok nem lehetnek sem fizikai dolgok, sem magánélmények.

75. A közös igazságvizsgálat előnye saját filozófiai nehézséget von maga után, ahelyett, hogy minden, a megértéssel és a megismeréssel kapcsolatos kérdést megoldana.

76. Az aritmetika alapjainak lefektetésekor Frege-nek emellett szüksége volt egy módszerre, amellyel a fogalmi meghatározásokból olyan tárgyakat nyerhetett, amelyekkel rendszerében számolni lehetett.

77. Ehhez függvények értékváltozásait használta, vagyis olyan tárgyakat, amelyeknek egy függvény leképezési viselkedését kellett képviselniük.

78. Egy fogalom különleges esetében megjelenik annak tartománya, amely összefoglalja az e fogalom alá tartozó tárgyakat.

79. Két fogalom eltérően definiálható, és mégis pontosan ugyanazokra az objektumokra vonatkozhat.

80. Frege V. alaptörvénye szerint a fogalmak hatálya pontosan akkor azonos, ha mindkét fogalom alá ugyanazok az objektumok tartoznak.

81. A törvény tágabb értelmezése a függvények értékfolyamataira vonatkozik, és azok egyenlőségét az összes hozzárendelt érték egybeeséséhez köti.

82. A fogalomalkotás széles körű lehetőségeivel összefüggésben ennek az elvnek hidat kellene képeznie a függvények és a fogalmak között az objektíven elérhető tárgyak felé.

83. Az 1893-ban megjelent „Az aritmetika alap törvényei” című mű első kötete beépítette ezt a hidat a formális alaprendszerbe.

84. Ezen a ponton Russell kifogása a halmazok egyszerűsített nyelvén is érthetővé válik.

85. A rendszer lehetővé teszi olyan halmaz létrehozását, amelyhez pontosan azok a halmazok tartoznak, amelyek nem tartalmazzák magukat elemeként.

86. Most meg kell vizsgálni, hogy ez az osztály maga is tartozik-e az elemei közé.

87. Ha magához tartozik, akkor éppen nem felel meg annak a feltételnek, amely alapján elemeit kiválasztották, és következésképpen nem tartozhatna magához.

88. Ha nem tartozik magához, akkor megfelel ennek a feltételnek, és ezért a saját elemei közé kellene tartoznia.

89. Mindkét válasz az ellenkezőjéhez vezet.

90. Itt antinómiáról van szó, mert a megengedett feltételezések valódi ellentmondást eredményeznek, ahelyett, hogy csupán egy nehezen eldönthető kérdést vetnének fel.

91. Frege tényleges rendszerében a nehézség a fogalomtartalmak és az V. alaptörvény segítségével pontosítható.

92. Ez a törvény és a korlátlan fogalomalkotás kölcsönhatásából fakad, és sem a fogalomtartományok bármilyen használatát, sem az aritmetika szokásos szabályait nem cáfolja.

93. Egy olyan rendszerben, amelyben egy állítás és annak tagadása bizonyítható, a használt klasszikus logika keretein belül már nem lehet megkülönböztetni a megalapozott és a tetszőleges következtetéseket.

94. Ezzel Frege konkrét alapozása pontosan azt a biztonságot mulasztotta el, amelyet létre kellett volna hoznia.

95. A későbbi fregei megközelítések módosított kiindulási elveket vizsgáltak, amelyekben az egyenlő számosság kritériuma más szerepet kapott, mint a kudarcot vallott V. alaptörvény.

96. Az ilyen továbbfejlesztések önálló projektek, és nem tulajdoníthatók utólag Frege-nek, mint sikeresen megvalósított megoldásnak.

97. A kvantorokról szóló elemzése és az értelmet és jelentést közötti megkülönböztetése azonban nem függ teljes mértékben az ellentmondásos V. alaptörvénytől.

98. Russell levele ezért egyszerre mutatja be egy alaprendszer sebezhetőségét és egy olyan ábrázolás értékét, amelyben annak előfeltevései egyenként ellenőrizhetők.

99. Az a követelmény, hogy minden bizonyítási lépést nyilvánosságra kell hozni, nem óvta meg Frege-t a tévedéstől, de lehetővé tette annak forrásának pontos meghatározását.

100. A kudarcba fulladt kísérletből egy élesebb kérdés maradt fenn: mely fogalmi eszközök tisztázzák ismereteinket, és mely további feltételezések teszik egyáltalán lehetővé számunkra, hogy e ismeretek tárgyait adottnak tekintsük?

1. Als Bertrand Russell am 16. Juni 1902 einen Brief an Gottlob Frege schrieb, war der zweite Band eines Werkes im Druck, das der Arithmetik ein verlässliches Fundament geben sollte.

2. Russell bewunderte die Genauigkeit von Freges Untersuchungen, legte ihm aber einen Widerspruch vor, der sich in dessen System gewinnen ließ.

3. Gerade die Arbeit, die jeden unsicheren Übergang aus mathematischen Beweisen entfernen wollte, hatte eine unhaltbare Voraussetzung aufgenommen.

4. Frege ergänzte den 1903 erschienenen Band seiner „Grundgesetze der Arithmetik“ um ein Nachwort, in dem er die Schwierigkeit untersuchte und eine Änderung vorschlug.

5. Die vorgeschlagene Reparatur rettete das System nicht.

6. Um zu verstehen, was damit gescheitert war und was Bestand haben konnte, muss man zu der Frage zurückgehen, aus der seine neuen Werkzeuge entstanden waren.

7. Frege, der von 1848 bis 1925 lebte und an der Universität Jena Mathematik lehrte, begann seine maßgeblichen Arbeiten bereits im späten neunzehnten Jahrhundert.

8. Ihn beschäftigte, worauf die Gewissheit einer mathematischen Aussage beruht, wenn man ihre Begründung bis zu den letzten Voraussetzungen verfolgt.

9. Beim Rechnen können wir uns auf eingeübte Verfahren verlassen, doch deren erfolgreiche Anwendung erklärt noch nicht, weshalb sie allgemein gelten.

10. Auch eine große Zahl richtiger Ergebnisse beweist kein Gesetz, das für beliebig viele weitere Fälle beansprucht wird.

11. Wer die Grundlagen der Arithmetik untersuchen will, muss deshalb zwischen dem Erwerb einer Überzeugung und ihrer Rechtfertigung unterscheiden.

12. Ein Kind mag das Addieren mithilfe von Steinen lernen, ohne dass die Wahrheit der Addition von diesen Steinen oder diesem Lernvorgang abhängt.

13. Dass Menschen Mathematik betreiben, macht ihre Sätze noch nicht zu Berichten über menschliche Gewohnheiten.

14. Diese Trennung führte Frege in die Auseinandersetzung mit dem Psychologismus, der logische Geltung auf Tatsachen des menschlichen Denkens zurückführen wollte.

15. Psychologische Forschung kann untersuchen, unter welchen Bedingungen Menschen einen Schluss ziehen, welche Vorstellungen sie dabei haben und weshalb ihnen Fehler unterlaufen.

16. Ein logischer Beweis stellt eine andere Forderung, denn seine Folgerung muss bei wahren Voraussetzungen wahr sein, unabhängig davon, wie überzeugend der Schluss jemandem erscheint.

17. Selbst wenn alle Menschen denselben Fehlschluss für richtig hielten, würde ihre Übereinstimmung ihm keine Gültigkeit verleihen.

18. Ebenso wenig verliert eine gültige Folgerung ihre Geltung, wenn sie niemand versteht.

19. Freges Antipsychologismus, seine Zurückweisung einer psychologischen Grundlegung der Logik, nimmt der Erforschung des Denkens daher nicht ihren Gegenstand.

20. Er bestreitet, dass eine Beschreibung dessen, was Menschen tatsächlich denken, bereits die Maßstäbe richtigen Schließens liefert.

21. Dafür brauchte er eine Darstellung, in der sich die Beziehungen zwischen Aussagen genauer prüfen ließen, als es die gewöhnliche Sprache erlaubte.

22. Mit der 1879 veröffentlichten „Begriffsschrift“ entwickelte er eine formale Sprache, deren Zeichen und Schlussregeln solche Beziehungen ausdrücklich sichtbar machen sollten.

23. Ein selbst gewähltes Beispiel zeigt, weshalb dafür mehr nötig ist als die vertraute Gliederung eines Satzes in Subjekt und Prädikat.

24. Die Aussage „Jeder Forscher kennt irgendeine Methode“ lässt offen, ob die Forscher dieselbe oder jeweils eine andere Methode kennen.

25. Sie verlangt lediglich, dass sich für jeden Forscher mindestens eine passende Methode finden lässt.

26. Die Aussage „Es gibt eine Methode, die jeder Forscher kennt“ behauptet dagegen, dass mindestens eine bestimmte Methode allen Forschern gemeinsam bekannt ist.

27. Angenommen, drei Forscher kennen jeweils nur ihr eigenes Verfahren, dann wäre die erste Aussage wahr und die zweite falsch.

28. Die Wörter „jeder“ und „es gibt“ wirken somit nicht bloß wie beiläufige Ergänzungen, sondern bestimmen, wie weit die behaupteten Beziehungen reichen.

29. In der Logik heißen die entsprechenden Mittel Quantoren, weil sie festlegen, ob von allen Gegenständen eines Bereichs oder von mindestens einem gesprochen wird.

30. Ihre Anordnung entscheidet hier darüber, ob eine Methode abhängig vom jeweiligen Forscher gewählt werden darf oder für alle zugleich geeignet sein muss.

31. Freges Darstellung machte solche Unterschiede und die auf ihnen beruhenden Schlussmöglichkeiten systematisch zugänglich.

32. In der offenen Form „… ist eine Primzahl“ fehlt noch die Angabe dessen, worüber geurteilt wird.

33. Setzt man die Zahl fünf ein, erhält man eine wahre Aussage, während das Einsetzen der Zahl sechs eine falsche ergibt.

34. Frege behandelte Begriffe als eine besondere Art von Funktionen, die einem eingesetzten Gegenstand einen Wahrheitswert zuordnen.

35. Der eingesetzte Gegenstand ist dabei das Argument der Funktion, also dasjenige, für das ihr Wert bestimmt wird.

36. Eine solche Begriffsfunktion bleibt ergänzungsbedürftig, bis ein Argument eingesetzt ist, und für diese Besonderheit verwendete Frege das Wort „ungesättigt“.

37. Die Unterscheidung soll erklären, wie ein Gegenstand und eine auf ihn anwendbare begriffliche Bestimmung zusammen eine vollständige Aussage ergeben.

38. Sie erlaubt außerdem, Beziehungen mit mehreren Stellen zu untersuchen, etwa das Kennen einer Methode durch einen Forscher.

39. Mit diesen Mitteln wollte Frege genauer bestimmen, was wir überhaupt behaupten, wenn wir eine Anzahl angeben.

40. In seinem Buch „Die Grundlagen der Arithmetik“ von 1884 wandte er sich gegen Auffassungen, die Zahlen als private Vorstellungen oder als sinnlich wahrnehmbare Eigenschaften von Dingen behandelten.

41. Eine Zahl verändert sich nicht dadurch, dass verschiedene Menschen sich beim Hören ihres Namens unterschiedliche Bilder vorstellen.

42. Ebenso wenig ist die Anzahl einer Sammlung ohne Weiteres eine Eigenschaft der Dinge wie ihre Farbe oder ihr Gewicht.

43. Betrachten wir als eigenes Beispiel einen Stapel mit fünf Büchern, so können wir je nach Fragestellung von einem Stapel, fünf Büchern oder vielen einzelnen Seiten sprechen.

44. Die sichtbare Anordnung allein legt deshalb nicht fest, was gezählt werden soll.

45. Entscheidend ist der Begriff, unter dem wir die Gegenstände erfassen, etwa „Buch in diesem Stapel“.

46. Eine Zahlangabe sagt bei Frege etwas darüber aus, wie viele Gegenstände unter einen solchen Begriff fallen.

47. Auch die Null lässt sich so verstehen, denn einem Begriff kommt die Anzahl null zu, wenn kein Gegenstand unter ihn fällt.

48. Der Übergang von der Zahlangabe zu Zahlen als selbstständigen Gegenständen verlangt allerdings einen weiteren Schritt.

49. Um zwei Anzahlen zu vergleichen, muss man die betreffenden Dinge nicht notwendig zuerst zählen.

50. Stellen wir in einem hypothetischen Raum jedem anwesenden Menschen genau einen Stuhl gegenüber und bleibt auf beiden Seiten niemand beziehungsweise nichts übrig, dann gibt es gleich viele Menschen und Stühle.

51. Eine solche wechselseitig eindeutige Zuordnung verbindet jeden Gegenstand der einen Seite mit genau einem Gegenstand der anderen.

52. Sie liefert ein allgemeines Kriterium der Gleichzahligkeit, auch wenn Menschen und Stühle ganz verschiedene Eigenschaften besitzen.

53. Die Gleichheit ihrer Anzahlen hängt daran, dass eine passende Zuordnung besteht, und nicht daran, dass die Dinge einander ähnlich sehen.

54. Frege wollte Zahlen so bestimmen, dass die Zahl der unter einen Begriff fallenden Gegenstände genau dann mit der entsprechenden Zahl eines anderen Begriffs übereinstimmt, wenn eine solche Zuordnung möglich ist.

55. Das Zuordnungsbeispiel enthält jedoch noch keinen Beweis der gesamten Arithmetik und beantwortet nicht allein die Frage, welche Gegenstände die Zahlen sind.

56. Freges weitergehendes Programm, der Logizismus, zielte darauf, die arithmetischen Grundsätze mithilfe präziser Definitionen aus logischen Gesetzen herzuleiten.

57. Für dieses Vorhaben musste auch die Sprache der Gleichheit geklärt werden, denn zwei Ausdrücke können denselben Gegenstand bezeichnen und dennoch verschieden viel Erkenntnis vermitteln.

58. Die Aussage, der Morgenstern sei der Morgenstern, bestätigt lediglich die Identität eines unter derselben Bezeichnung erfassten Gegenstandes mit sich selbst.

59. Die Aussage, der Morgenstern sei der Abendstern, kann dagegen eine astronomische Erkenntnis ausdrücken.

60. Beide Bezeichnungen beziehen sich auf den Planeten Venus, den man unter unterschiedlichen Beobachtungsbedingungen am Himmel wahrnimmt.

61. Wer die Bezeichnungen versteht, muss ihre Bezugsgleichheit deshalb noch nicht kennen.

62. Im Aufsatz „Über Sinn und Bedeutung“ von 1892 unterschied Frege den bezeichneten Gegenstand von der Art, in der er durch einen Ausdruck gegeben ist.

63. Diese Art des Gegebenseins nannte er den Sinn, während er mit Bedeutung den Bezug des Ausdrucks bezeichnete.

64. Morgenstern und Abendstern haben in diesem Fachgebrauch dieselbe Bedeutung, obwohl ihre verschiedenen Sinne einen unterschiedlichen Erkenntniszugang eröffnen.

65. Der Ausdruck „Bedeutung“ muss hier besonders sorgfältig gelesen werden, weil er im gewöhnlichen Deutsch oft auch das umfasst, was Frege gerade als Sinn abgrenzt.

66. Der Sinn eines Ausdrucks ist dabei keine beliebige persönliche Stimmung und auch kein Bild, das nur im Bewusstsein eines einzelnen Menschen vorkommt.

67. Ein Leser mag bei „Morgenstern“ an einen bestimmten Himmel denken, ein anderer an eine Zeichnung, doch ihre unterschiedlichen Vorstellungen verhindern nicht, dass sie dieselbe Aussage verstehen.

68. Frege suchte eine Erklärung dafür, wie ein Gehalt mehreren Menschen zugänglich sein und von ihnen gemeinsam auf Wahrheit geprüft werden kann.

69. Die Unterscheidung zwischen Sinn und Bedeutung übertrug er deshalb auch auf vollständige Aussagesätze.

70. Den Sinn eines solchen Satzes nannte er einen Gedanken, womit der verstandene, wahrheitsfähige Gehalt und nicht der zeitliche Vorgang des Denkens gemeint ist.

71. Als Bedeutung eines Aussagesatzes bestimmte er dessen Wahrheitswert, also das Wahre oder das Falsche.

72. Diese Zuordnung erscheint zunächst befremdlich, weil zwei wahre Sätze durchaus von völlig verschiedenen Dingen handeln können.

73. Ihre verschiedenen Inhalte bleiben jedoch auf der Ebene der Gedanken erhalten, während die Bedeutung im engeren Sinn lediglich ihren Wahrheitswert erfasst.

74. Die Theorie muss somit erklären, wie wir objektive Gedanken und Sinne erfassen können, obwohl sie weder körperliche Dinge noch private Erlebnisse sein sollen.

75. Der Gewinn einer gemeinsamen Wahrheitsprüfung bringt eine eigene philosophische Schwierigkeit mit sich, statt alle Fragen nach Verstehen und Erkenntnis zu erledigen.

76. Bei der Grundlegung der Arithmetik benötigte Frege zudem einen Weg, aus begrifflichen Bestimmungen Gegenstände zu gewinnen, mit denen sich in seinem System rechnen ließ.

77. Dafür verwendete er Wertverläufe von Funktionen, also Gegenstände, die das Zuordnungsverhalten einer Funktion repräsentieren sollten.

78. Im besonderen Fall eines Begriffs tritt dessen Umfang auf, der die unter diesen Begriff fallenden Gegenstände zusammenfasst.

79. Zwei Begriffe können verschieden bestimmt sein und dennoch genau auf dieselben Gegenstände zutreffen.

80. Nach Freges Grundgesetz V sind ihre Umfänge genau dann identisch, wenn unter beide Begriffe dieselben Gegenstände fallen.

81. Die umfassendere Fassung des Gesetzes betrifft Wertverläufe von Funktionen und bindet deren Gleichheit an die Übereinstimmung sämtlicher zugeordneter Werte.

82. In Verbindung mit den weitreichenden Möglichkeiten der Begriffsbildung sollte dieses Prinzip eine Brücke von Funktionen und Begriffen zu objektiv verfügbaren Gegenständen schlagen.

83. Der erste Band der „Grundgesetze der Arithmetik“, der 1893 erschien, nahm diese Brücke in das formale Grundlagensystem auf.

84. An dieser Stelle lässt sich Russells Einwand in einer vereinfachten Sprache der Klassen nachvollziehen.

85. Das System ermöglicht die Bildung einer Klasse, zu der genau diejenigen Klassen gehören sollen, die sich selbst nicht als Element enthalten.

86. Nun ist zu prüfen, ob diese Klasse selbst zu ihren Elementen gehört.

87. Gehört sie sich selbst an, dann erfüllt sie gerade nicht die Bedingung, nach der ihre Elemente ausgewählt wurden, und dürfte sich folglich nicht angehören.

88. Gehört sie sich selbst nicht an, dann erfüllt sie diese Bedingung und müsste deshalb zu ihren eigenen Elementen gehören.

89. Beide Antworten führen zu ihrem Gegenteil.

90. Eine Antinomie liegt hier vor, weil die zugelassenen Annahmen einen echten Widerspruch erzeugen, statt lediglich eine schwer entscheidbare Frage aufzuwerfen.

91. In Freges tatsächlichem System lässt sich die Schwierigkeit über Begriffsumfänge und Grundgesetz V präzisieren.

92. Sie entsteht aus dem Zusammenwirken dieses Gesetzes mit der unbeschränkten Begriffsbildung und widerlegt weder jede Verwendung von Begriffsumfängen noch die gewöhnlichen Regeln der Arithmetik.

93. Ein System, in dem eine Aussage und ihre Verneinung beweisbar sind, kann im Rahmen der verwendeten klassischen Logik nicht mehr zwischen haltbaren und beliebigen Folgerungen unterscheiden.

94. Damit verfehlte Freges konkrete Grundlegung genau die Sicherheit, die sie herstellen sollte.

95. Spätere fregeanische Ansätze untersuchten veränderte Ausgangsprinzipien, wobei das Kriterium der Gleichzahligkeit eine andere Rolle erhielt als das gescheiterte Grundgesetz V.

96. Solche Weiterentwicklungen sind eigenständige Projekte und dürfen Frege nicht nachträglich als erfolgreich vollendete Lösung zugeschrieben werden.

97. Seine Analyse der Quantoren und seine Unterscheidung zwischen Sinn und Bedeutung hängen jedoch nicht sämtlich von dem widersprüchlichen Grundgesetz ab.

98. Russells Brief zeigt deshalb zugleich die Verletzlichkeit eines Grundlagensystems und den Wert einer Darstellung, in der seine Voraussetzungen einzeln überprüft werden können.

99. Der Anspruch, jeden Beweisschritt offenzulegen, bewahrte Frege nicht vor dem Irrtum, ermöglichte aber eine genaue Bestimmung seiner Quelle.

100. Aus dem gescheiterten Versuch blieb eine schärfere Frage zurück: Welche begrifflichen Mittel klären unsere Erkenntnis, und welche zusätzlichen Annahmen erlauben uns überhaupt, die Gegenstände dieser Erkenntnis als gegeben zu behandeln?