2.4.5 A platóni testek: a világ geometriája - Die platonischen Körper: die Geometrie der Welt
1. Eddig a mulandó dolgok mögött rejlő tökéletes archetípusokról volt szó. - Bisher war von vollkommenen Urbildern die Rede, die hinter den vergänglichen Dingen liegen.
2. Most felmerül egy merész kérdés, amelyet Platón egy későbbi művében merészelte felvetni. - Nun stellt sich eine kühne Frage, die Platon in einem späten Werk wagte.
3. Mi lenne, ha nemcsak a lovaknak és a köröknek lennének archetípusaik, hanem magának az anyagnak is? - Was, wenn nicht nur Pferde und Kreise ihre Urbilder haben, sondern auch der Stoff selbst?
4. Mi lenne, ha a világ legbelsőbb lényegében geometriai minták szerint lenne felépítve? - Was, wenn die Welt im Innersten nach geometrischen Mustern gebaut ist?
5. Ez a kérdés a híres platóni testekhez vezet. - Diese Frage führt zu den berühmten platonischen Körpern.
6. Platón nem a Politeiában fejti ki őket, hanem egy másik párbeszédben, a Timaioszban. - Platon entwickelt sie nicht in der Politeia, sondern in einem anderen Dialog, dem Timaios.
7. A Timaiosz Platón nagy kísérlete az egész világ felépítésének megmagyarázására. - Der Timaios ist Platons großer Versuch, den Aufbau der ganzen Welt zu erklären.
8. Itt ötvözi ideatanait a matematikával és a természettudománnyal. - Hier verbindet er seine Ideenlehre mit Mathematik und Naturforschung.
9. A platóni testek megértéséhez először egy egyszerű fogalomra van szükség. - Um die platonischen Körper zu verstehen, braucht man zuerst einen einfachen Begriff.
10. A szabályos test olyan test, amelynek minden felülete egyforma és tökéletesen egyenletes. - Ein regelmäßiger Körper ist ein Körper, dessen Flächen alle gleich und vollkommen ebenmäßig sind.
11. Minden felülete, minden éle és minden sarka egymással egyforma. - Bei ihm sind alle Flächen, alle Kanten und alle Ecken untereinander gleich.
12. A kocka a legismertebb példa, mivel hat egyforma négyzetből áll. - Ein Würfel ist das bekannteste Beispiel, denn er besteht aus sechs gleichen Quadraten.
13. A megdöbbentő tény pedig magából a matematikából fakad. - Das Erstaunliche ist nun eine Tatsache aus der Mathematik selbst.
14. Az ilyen tökéletesen szabályos testekből nem létezik tetszőleges számú. - Von solchen vollkommen regelmäßigen Körpern gibt es nicht beliebig viele.
15. Az egész térben pontosan öt ilyen test létezik, se több, se kevesebb. - Es gibt im ganzen Raum genau fünf von ihnen, nicht mehr und nicht weniger.
16. Ezt az öt testet a mai napig platóni testeknek nevezik. - Diese fünf Körper nennt man bis heute die platonischen Körper.
17. Az első a tetraéder, egy négy egyenlő oldalú háromszögből álló test. - Der erste ist das Tetraeder, ein Körper aus vier gleichseitigen Dreiecken.
18. Úgy néz ki, mint egy hegyes piramis háromszög alapú aljzattal. - Es sieht aus wie eine spitze Pyramide mit dreieckiger Grundfläche.
19. A második a kocka, amelyet hat négyzet alkot. - Der zweite ist der Würfel, gebildet aus sechs Quadraten.
20. A harmadik az oktaéder, egy nyolc háromszögből álló test, mintha két piramis aljzata egymáshoz érne. - Der dritte ist das Oktaeder, ein Körper aus acht Dreiecken, wie zwei Pyramiden Boden an Boden.
21. A negyedik az ikosaéder, egy húsz háromszögből álló test, amely szinte már egy gömbhöz hasonlít. - Der vierte ist das Ikosaeder, ein Körper aus zwanzig Dreiecken, fast schon einer Kugel ähnlich.
22. Az ötödik a dodekaéder, amely tizenkét szabályos ötszögből áll. - Der fünfte ist das Dodekaeder, gebildet aus zwölf regelmäßigen Fünfecken.
23. Az, hogy pontosan öt és csak öt ilyen test létezik, nem Platón találmánya. - Dass es genau fünf und nur fünf solcher Körper gibt, ist keine Erfindung Platons.
24. Ez a geometria szigorú igazsága, amelyet mindenki saját maga is ellenőrizhet. - Es ist eine strenge Wahrheit der Geometrie, die jeder selbst nachprüfen kann.
25. Platón számára éppen ez a szigor volt a lenyűgöző. - Für Platon war gerade diese Strenge das Faszinierende.
26. Itt nyilvánult meg egy örök, változatlan rend, teljesen az ő eszméinek szellemében. - Hier zeigte sich eine ewige, unveränderliche Ordnung, ganz im Sinne seiner Ideen.
27. Senki sem találta fel ezt az öt testet, csak felfedezni lehet őket. - Niemand hat diese fünf Körper erfunden, man kann sie nur entdecken.
28. Mindig is léteztek, akárcsak a tökéletes háromszög vagy a tökéletes kör. - Sie waren immer da, wie das vollkommene Dreieck oder der vollkommene Kreis.
29. Pontosan ezeket az időtlen formákat tartotta Platón valóságosabbnak, mint bármely anyagot. - Genau solche zeitlosen Formen hielt Platon für wirklicher als jeden Stoff.
30. Most Platón egy nagy és merész lépést tesz. - Nun macht Platon einen großen und gewagten Schritt.
31. Összekapcsolja ezt az öt testet az anyagi világ felépítésével. - Er verbindet diese fünf Körper mit dem Aufbau der materiellen Welt.
32. Akkoriban azt gondolták, hogy minden anyag négy alapelemből áll. - Damals dachte man, alle Stoffe seien aus vier Grundelementen gemischt.
33. Ez a négy elem a tűz, a föld, a levegő és a víz volt. - Diese vier Elemente waren Feuer, Erde, Luft und Wasser.
34. Platón most minden elemhez hozzárendel egy-egy testet, mint rejtett alapformát. - Platon ordnet nun jedem Element einen der Körper als verborgene Grundform zu.
35. A tűznek a tetraédert adja, a leghegyesebb és legélesebb testet. - Dem Feuer gibt er das Tetraeder, den spitzesten und schärfsten Körper.
36. Ez illik rá, mert a tűz szúr és ég, mintha éles csúcsai lennének. - Das passt, denn Feuer sticht und brennt, als hätte es scharfe Spitzen.
37. A földnek a kockát, a legszilárdabb és legállandóbb testet rendeli. - Der Erde gibt er den Würfel, den festesten und standhaftesten Körper.
38. Ez illik rá, mert a föld nehéz, stabil és nyugodtan fekszik a helyén. - Das passt, denn Erde ist schwer, stabil und liegt ruhig an ihrem Ort.
39. A levegőnek az oktaédert, egy nehéz és könnyű között félúton lévő testet rendeli. - Der Luft gibt er das Oktaeder, einen Körper zwischen schwer und leicht.
40. A víznek az ikozaédert adja, amely szinte kör alakú és könnyedén gördül. - Dem Wasser gibt er das Ikosaeder, das fast rund ist und leicht dahinrollt.
41. Ez illik rá, hiszen a víz folyik és csúszik, rögzített forma nélkül. - Das passt, denn Wasser fließt und gleitet ohne feste Form.
42. Így minden elemet egy láthatatlan geometriai alakzat magyaráz. - So wird jedes Element durch eine unsichtbare geometrische Gestalt erklärt.
43. A világ legkisebb építőelemei tehát Platón számára apró geometriai testek. - Die kleinsten Bausteine der Welt sind für Platon also winzige geometrische Körper.
44. Ezzel előrevetít egy olyan gondolatot, amely közel áll a modern természettudományhoz. - Damit nimmt er eine Idee vorweg, die der modernen Naturwissenschaft nahekommt.
45. Ma is rejtett struktúrák, például az atomok elrendezése alapján írjuk le az anyagokat. - Auch heute beschreiben wir Stoffe durch verborgene Strukturen, etwa durch die Anordnung der Atome.
46. Természetesen Platón besorolása nem a mai értelemben vett fizika. - Natürlich ist Platons Zuordnung keine Physik im heutigen Sinne.
47. Szépségen és koherencián alapul, nem pedig méréseken és kísérleteken. - Sie beruht auf Schönheit und Stimmigkeit, nicht auf Messung und Versuch.
48. Az alapelgondolat azonban elképesztően modern: az anyag mögött a matematika áll. - Doch der Grundgedanke ist verblüffend modern: hinter dem Stoff steht Mathematik.
49. Egy test azonban megmaradt: a tizenkét ötszögből álló dodekaéder. - Ein Körper aber blieb übrig, das Dodekaeder aus zwölf Fünfecken.
50. A négy elemhez ugyanis csak négy testre volt szükség. - Für die vier Elemente waren ja nur vier Körper nötig.
51. Ezt az ötödik, legnemesebb testet Platón az egész kozmosznak rendeli. - Diesen fünften, edelsten Körper weist Platon dem ganzen Kosmos zu.
52. A dodekaéder az egész világegyetemet, a világépítmény formáját jelképezi. - Das Dodekaeder steht für das All als Ganzes, für die Form des Weltgebäudes.
53. Így mind az öt tökéletes test megkapja a helyét a világ rendjében. - So bekommt jeder der fünf vollkommenen Körper seinen Platz in der Ordnung der Welt.
54. Négy alkotja az anyagokat, egy pedig magába foglalja az egészet. - Vier bauen die Stoffe, einer umfasst das Ganze.
55. Itt egyetlen képben nyilvánul meg Platón legmélyebb meggyőződése. - Hier zeigt sich Platons tiefste Überzeugung in einem einzigen Bild.
56. A világ nem vak zűrzavar, hanem méret és szám szerint kialakított mű. - Die Welt ist kein blindes Durcheinander, sondern ein nach Maß und Zahl geformtes Werk.
57. A dolgok változása mögött szilárd, geometriai rend húzódik. - Hinter dem Wandel der Dinge liegt eine feste, geometrische Ordnung.
58. A platóni testek így hidat képeznek az ideától az anyagig. - Die platonischen Körper sind damit die Brücke von der Idee zum Stoff.
59. A tökéletes formát mutatják be, mint a tökéletlen anyag rejtett tervrajzát. - Sie zeigen die vollkommene Form als verborgenen Bauplan der unvollkommenen Materie.
60. Ezért viselik a mai napig Platón nevét, és a matematika szépségének szimbólumának számítanak. - Bis heute tragen sie deshalb Platons Namen und gelten als Sinnbild für die Schönheit der Mathematik.
(aufklappen)magyar
1. Eddig a mulandó dolgok mögött rejlő tökéletes archetípusokról volt szó.
2. Most felmerül egy merész kérdés, amelyet Platón egy későbbi művében merészelte felvetni.
3. Mi lenne, ha nemcsak a lovaknak és a köröknek lennének archetípusaik, hanem magának az anyagnak is?
4. Mi lenne, ha a világ legbelsőbb lényegében geometriai minták szerint lenne felépítve?
5. Ez a kérdés a híres platóni testekhez vezet.
6. Platón nem a Politeiában fejti ki őket, hanem egy másik párbeszédben, a Timaioszban.
7. A Timaiosz Platón nagy kísérlete az egész világ felépítésének megmagyarázására.
8. Itt ötvözi ideatanait a matematikával és a természettudománnyal.
9. A platóni testek megértéséhez először egy egyszerű fogalomra van szükség.
10. A szabályos test olyan test, amelynek minden felülete egyforma és tökéletesen egyenletes.
11. Minden felülete, minden éle és minden sarka egymással egyforma.
12. A kocka a legismertebb példa, mivel hat egyforma négyzetből áll.
13. A megdöbbentő tény pedig magából a matematikából fakad.
14. Az ilyen tökéletesen szabályos testekből nem létezik tetszőleges számú.
15. Az egész térben pontosan öt ilyen test létezik, se több, se kevesebb.
16. Ezt az öt testet a mai napig platóni testeknek nevezik.
17. Az első a tetraéder, egy négy egyenlő oldalú háromszögből álló test.
18. Úgy néz ki, mint egy hegyes piramis háromszög alapú aljzattal.
19. A második a kocka, amelyet hat négyzet alkot.
20. A harmadik az oktaéder, egy nyolc háromszögből álló test, mintha két piramis aljzata egymáshoz érne.
21. A negyedik az ikosaéder, egy húsz háromszögből álló test, amely szinte már egy gömbhöz hasonlít.
22. Az ötödik a dodekaéder, amely tizenkét szabályos ötszögből áll.
23. Az, hogy pontosan öt és csak öt ilyen test létezik, nem Platón találmánya.
24. Ez a geometria szigorú igazsága, amelyet mindenki saját maga is ellenőrizhet.
25. Platón számára éppen ez a szigor volt a lenyűgöző.
26. Itt nyilvánult meg egy örök, változatlan rend, teljesen az ő eszméinek szellemében.
27. Senki sem találta fel ezt az öt testet, csak felfedezni lehet őket.
28. Mindig is léteztek, akárcsak a tökéletes háromszög vagy a tökéletes kör.
29. Pontosan ezeket az időtlen formákat tartotta Platón valóságosabbnak, mint bármely anyagot.
30. Most Platón egy nagy és merész lépést tesz.
31. Összekapcsolja ezt az öt testet az anyagi világ felépítésével.
32. Akkoriban azt gondolták, hogy minden anyag négy alapelemből áll.
33. Ez a négy elem a tűz, a föld, a levegő és a víz volt.
34. Platón most minden elemhez hozzárendel egy-egy testet, mint rejtett alapformát.
35. A tűznek a tetraédert adja, a leghegyesebb és legélesebb testet.
36. Ez illik rá, mert a tűz szúr és ég, mintha éles csúcsai lennének.
37. A földnek a kockát, a legszilárdabb és legállandóbb testet rendeli.
38. Ez illik rá, mert a föld nehéz, stabil és nyugodtan fekszik a helyén.
39. A levegőnek az oktaédert, egy nehéz és könnyű között félúton lévő testet rendeli.
40. A víznek az ikozaédert adja, amely szinte kör alakú és könnyedén gördül.
41. Ez illik rá, hiszen a víz folyik és csúszik, rögzített forma nélkül.
42. Így minden elemet egy láthatatlan geometriai alakzat magyaráz.
43. A világ legkisebb építőelemei tehát Platón számára apró geometriai testek.
44. Ezzel előrevetít egy olyan gondolatot, amely közel áll a modern természettudományhoz.
45. Ma is rejtett struktúrák, például az atomok elrendezése alapján írjuk le az anyagokat.
46. Természetesen Platón besorolása nem a mai értelemben vett fizika.
47. Szépségen és koherencián alapul, nem pedig méréseken és kísérleteken.
48. Az alapelgondolat azonban elképesztően modern: az anyag mögött a matematika áll.
49. Egy test azonban megmaradt: a tizenkét ötszögből álló dodekaéder.
50. A négy elemhez ugyanis csak négy testre volt szükség.
51. Ezt az ötödik, legnemesebb testet Platón az egész kozmosznak rendeli.
52. A dodekaéder az egész világegyetemet, a világépítmény formáját jelképezi.
53. Így mind az öt tökéletes test megkapja a helyét a világ rendjében.
54. Négy alkotja az anyagokat, egy pedig magába foglalja az egészet.
55. Itt egyetlen képben nyilvánul meg Platón legmélyebb meggyőződése.
56. A világ nem vak zűrzavar, hanem méret és szám szerint kialakított mű.
57. A dolgok változása mögött szilárd, geometriai rend húzódik.
58. A platóni testek így hidat képeznek az ideától az anyagig.
59. A tökéletes formát mutatják be, mint a tökéletlen anyag rejtett tervrajzát.
60. Ezért viselik a mai napig Platón nevét, és a matematika szépségének szimbólumának számítanak.
(aufklappen)német
1. Bisher war von vollkommenen Urbildern die Rede, die hinter den vergänglichen Dingen liegen.
2. Nun stellt sich eine kühne Frage, die Platon in einem späten Werk wagte.
3. Was, wenn nicht nur Pferde und Kreise ihre Urbilder haben, sondern auch der Stoff selbst?
4. Was, wenn die Welt im Innersten nach geometrischen Mustern gebaut ist?
5. Diese Frage führt zu den berühmten platonischen Körpern.
6. Platon entwickelt sie nicht in der Politeia, sondern in einem anderen Dialog, dem Timaios.
7. Der Timaios ist Platons großer Versuch, den Aufbau der ganzen Welt zu erklären.
8. Hier verbindet er seine Ideenlehre mit Mathematik und Naturforschung.
9. Um die platonischen Körper zu verstehen, braucht man zuerst einen einfachen Begriff.
10. Ein regelmäßiger Körper ist ein Körper, dessen Flächen alle gleich und vollkommen ebenmäßig sind.
11. Bei ihm sind alle Flächen, alle Kanten und alle Ecken untereinander gleich.
12. Ein Würfel ist das bekannteste Beispiel, denn er besteht aus sechs gleichen Quadraten.
13. Das Erstaunliche ist nun eine Tatsache aus der Mathematik selbst.
14. Von solchen vollkommen regelmäßigen Körpern gibt es nicht beliebig viele.
15. Es gibt im ganzen Raum genau fünf von ihnen, nicht mehr und nicht weniger.
16. Diese fünf Körper nennt man bis heute die platonischen Körper.
17. Der erste ist das Tetraeder, ein Körper aus vier gleichseitigen Dreiecken.
18. Es sieht aus wie eine spitze Pyramide mit dreieckiger Grundfläche.
19. Der zweite ist der Würfel, gebildet aus sechs Quadraten.
20. Der dritte ist das Oktaeder, ein Körper aus acht Dreiecken, wie zwei Pyramiden Boden an Boden.
21. Der vierte ist das Ikosaeder, ein Körper aus zwanzig Dreiecken, fast schon einer Kugel ähnlich.
22. Der fünfte ist das Dodekaeder, gebildet aus zwölf regelmäßigen Fünfecken.
23. Dass es genau fünf und nur fünf solcher Körper gibt, ist keine Erfindung Platons.
24. Es ist eine strenge Wahrheit der Geometrie, die jeder selbst nachprüfen kann.
25. Für Platon war gerade diese Strenge das Faszinierende.
26. Hier zeigte sich eine ewige, unveränderliche Ordnung, ganz im Sinne seiner Ideen.
27. Niemand hat diese fünf Körper erfunden, man kann sie nur entdecken.
28. Sie waren immer da, wie das vollkommene Dreieck oder der vollkommene Kreis.
29. Genau solche zeitlosen Formen hielt Platon für wirklicher als jeden Stoff.
30. Nun macht Platon einen großen und gewagten Schritt.
31. Er verbindet diese fünf Körper mit dem Aufbau der materiellen Welt.
32. Damals dachte man, alle Stoffe seien aus vier Grundelementen gemischt.
33. Diese vier Elemente waren Feuer, Erde, Luft und Wasser.
34. Platon ordnet nun jedem Element einen der Körper als verborgene Grundform zu.
35. Dem Feuer gibt er das Tetraeder, den spitzesten und schärfsten Körper.
36. Das passt, denn Feuer sticht und brennt, als hätte es scharfe Spitzen.
37. Der Erde gibt er den Würfel, den festesten und standhaftesten Körper.
38. Das passt, denn Erde ist schwer, stabil und liegt ruhig an ihrem Ort.
39. Der Luft gibt er das Oktaeder, einen Körper zwischen schwer und leicht.
40. Dem Wasser gibt er das Ikosaeder, das fast rund ist und leicht dahinrollt.
41. Das passt, denn Wasser fließt und gleitet ohne feste Form.
42. So wird jedes Element durch eine unsichtbare geometrische Gestalt erklärt.
43. Die kleinsten Bausteine der Welt sind für Platon also winzige geometrische Körper.
44. Damit nimmt er eine Idee vorweg, die der modernen Naturwissenschaft nahekommt.
45. Auch heute beschreiben wir Stoffe durch verborgene Strukturen, etwa durch die Anordnung der Atome.
46. Natürlich ist Platons Zuordnung keine Physik im heutigen Sinne.
47. Sie beruht auf Schönheit und Stimmigkeit, nicht auf Messung und Versuch.
48. Doch der Grundgedanke ist verblüffend modern: hinter dem Stoff steht Mathematik.
49. Ein Körper aber blieb übrig, das Dodekaeder aus zwölf Fünfecken.
50. Für die vier Elemente waren ja nur vier Körper nötig.
51. Diesen fünften, edelsten Körper weist Platon dem ganzen Kosmos zu.
52. Das Dodekaeder steht für das All als Ganzes, für die Form des Weltgebäudes.
53. So bekommt jeder der fünf vollkommenen Körper seinen Platz in der Ordnung der Welt.
54. Vier bauen die Stoffe, einer umfasst das Ganze.
55. Hier zeigt sich Platons tiefste Überzeugung in einem einzigen Bild.
56. Die Welt ist kein blindes Durcheinander, sondern ein nach Maß und Zahl geformtes Werk.
57. Hinter dem Wandel der Dinge liegt eine feste, geometrische Ordnung.
58. Die platonischen Körper sind damit die Brücke von der Idee zum Stoff.
59. Sie zeigen die vollkommene Form als verborgenen Bauplan der unvollkommenen Materie.
60. Bis heute tragen sie deshalb Platons Namen und gelten als Sinnbild für die Schönheit der Mathematik.
Szójegyzék – Vokabelliste
test - Körper
kocka - Würfel
elem - Element
forma - Form
anyag - Stoff
tökéletes - vollkommen
Dieser Text steht unter CC0 1.0 Universell. Eine Quellenangabe ist nicht erforderlich.
Er darf kostenlos kopiert, verändert, veröffentlicht und auch kommerziell genutzt werden.